Határozott vs határozatlan integrálok
A számítás a matematika fontos ága, és a differenciálás kritikus szerepet játszik a számításban. A differenciálás inverz folyamatát integrációnak nevezzük, az inverzét pedig integrálnak, vagy egyszerűen fogalmazva, a differenciálás inverze integrált ad. Az általuk kapott eredmények alapján az integrálokat két osztályra osztják; határozott és határozatlan integrálok.
További információ a határozatlan integrálokról
A határozatlan integrál inkább az integráció általános formája, és a vizsgált függvény antideriváltjaként is értelmezhető. Tegyük fel, hogy F differenciálása f-et, f integrálása pedig integrált ad. Gyakran úgy írják, hogy F(x)=∫ƒ(x)dx vagy F=∫ƒ dx, ahol F és ƒ is x függvényei, és F differenciálható. A fenti formában Reimann-integrálnak nevezzük, és az eredményül kapott függvény egy tetszőleges állandót kísér. A határozatlan integrál gyakran függvénycsaládot hoz létre; ezért az integrál határozatlan.
Az integrálok és az integrációs folyamat a differenciálegyenletek megoldásának középpontjában áll. A differenciálástól eltérően azonban az integráció nem mindig világos és szabványos rutint követ; néha a megoldást nem lehet kifejezetten elemi funkcióval kifejezni. Ebben az esetben az analitikus megoldást gyakran határozatlan integrál formájában adják meg.
További információ a határozott integrálokról
A határozott integrálok a határozatlan integrálok nagyra értékelt megfelelői, ahol az integrációs folyamat ténylegesen véges számot hoz létre. Grafikusan úgy definiálható, mint egy adott intervallumon belül az ƒ függvény görbéje által határolt terület. Amikor az integrációt a független változó egy adott intervallumán belül hajtják végre, az integráció egy meghatározott értéket ad, amelyet gyakran a következőképpen írnak fel: a∫bƒ(x) dx vagy a∫b ƒdx.
A határozatlan integrálok és a határozott integrálok a számítás első alaptételén keresztül kapcsolódnak egymáshoz, és ez lehetővé teszi a határozott integrál kiszámítását a határozatlan integrálok segítségével. A tétel kimondja, hogy a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), ahol F és ƒ is x függvényei, és F az (a, b) intervallumban differenciálható. Az intervallumot figyelembe véve a-t és b-t alsó határnak, illetve felső határnak nevezzük.
Ahelyett, hogy csak valós függvényekkel állnánk meg, az integráció kiterjeszthető összetett függvényekre, és ezeket az integrálokat kontúrintegráloknak nevezzük, ahol ƒ a komplex változó függvénye.
Mi a különbség a határozott és a határozatlan integrálok között?
A határozatlan integrálok egy függvény anti-derivátumát jelentik, és gyakran függvénycsaládot, nem pedig határozott megoldást. Határozott integrálokban az integráció véges számot ad.
A határozatlan integrálok tetszőleges változót (tehát a függvénycsaládot) társítanak, és a határozott integráloknak nem tetszőleges állandójuk van, hanem felső és alsó integrációs határuk.
A határozatlan integrál általában általános megoldást ad a differenciálegyenletre.
