Ortogonális vs ortonormális
A matematikában a két ortogonális és ortonormális szót gyakran használják vektorkészlettel együtt. Itt a „vektor” kifejezést abban az értelemben használjuk, hogy ez egy vektortér eleme – a lineáris algebrában használt algebrai struktúra. Megbeszélésünkhöz egy belső szorzatteret veszünk figyelembe – egy V vektorteret a V-n definiált belső szorzattal együtt.
Például egy belső szorzat esetében a tér az összes 3-dimenziós helyzetvektor halmaza a szokásos pontszorzattal együtt.
Mi az ortogonális?
Egy belső V szorzattér egy nem üres S részhalmazát akkor és csak akkor mondjuk ortogonálisnak, ha S-ben minden egyes u, v esetén [u, v]=0; azaz u és v belső szorzata egyenlő a belső szorzattér nulla skalárjával.
Például az összes 3-dimenziós helyzetvektor halmazában ez egyenértékű azzal, hogy S-ben minden egyes p és q helyzetvektor pár esetén p és q merőlegesek egymásra. (Ne feledje, hogy ebben a vektortérben a belső szorzat a pontszorzat. Két vektor pontszorzata akkor és csak akkor egyenlő 0-val, ha a két vektor merőleges egymásra.)
Tekintsük az S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} halmazt, amely a 3 dimenziós helyzetvektorok egy részhalmaza. Figyeljük meg, hogy (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Ezért az S halmaz merőleges. Konkrétan két vektorról azt mondjuk, hogy merőleges, ha a belső szorzatuk 0. Ezért minden Sis vektorpár merőleges.
Mi az ortonormális?
Egy belső V szorzattér egy nem üres S részhalmazát akkor és csak akkor mondjuk ortonormálisnak, ha S ortogonális, és minden S-beli u vektorra [u, u]=1. Ezért látható, hogy minden ortonormális halmaz merőleges, de nem fordítva.
Például az összes 3-dimenziós helyzetvektor halmazában ez egyenértékű azzal, hogy az S-beli p és q helyzetvektorok minden egyes párja esetén p és q merőlegesek egymásra, és minden p S-ben, |p|=1. Ennek az az oka, hogy a [p, p]=1 feltétel p.p=|p||p|cos0=|p|2=1-re redukálódik, ami |p |=1. Ezért egy ortogonális halmaz esetén mindig létrehozhatunk megfelelő ortonormális halmazt úgy, hogy minden vektort elosztunk a nagyságával.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} az összes 3-dimenziós helyzetvektor halmazának ortonormális részhalmaza. Könnyen belátható, hogy ezt úgy kaptuk meg, hogy az S halmazban lévő vektorokat elosztottuk a nagyságukkal.
Mi a különbség az ortogonális és az ortonormális között?
- Egy belső V szorzattér egy nem üres S részhalmazát akkor és csak akkor mondjuk ortogonálisnak, ha S-ben minden egyes u, v esetén [u, v]=0. Ez azonban ortonormális, ha és csak akkor, ha egy további feltétel teljesül – minden S-beli u vektorra [u, u]=1.
- Bármely ortonormális halmaz merőleges, de nem fordítva.
- Bármely ortogonális halmaz megfelel egy egyedi ortonormális halmaznak, de egy ortonormális halmaz sok ortogonális halmaznak felelhet meg.
