Power Series vs Taylor Series
A matematikában a valós sorozat a valós számok rendezett listája. Formálisan ez egy függvény a természetes számok halmazától a valós számok halmazáig. Ha an egy sorozat n-edik tagja, akkor a sorozatot 1 jellel vagy jellel jelöljük., a 2, …, an, …. Vegyük például az 1, ½, ⅓, …, 1 sorozatot / n, …. Ezt a következővel lehet jelölni: {1/n}.
Lehetőség van sorozat meghatározására szekvenciák segítségével. A sorozat egy sorozat tagjainak összege. Ezért minden sorozathoz tartozik egy szekvencia, és fordítva. Ha {an} a vizsgált sorozat, akkor a sorozat által alkotott sorozat a következőképpen ábrázolható:
Így a fenti példában a kapcsolódó sorozat: 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Ahogy a nevek is sugallják, a hatványsorok egy speciális sorozattípus, és széles körben használják a numerikus elemzésben és a kapcsolódó matematikai modellezésben. A Taylor sorozat egy speciális teljesítménysorozat, amely alternatív és könnyen kezelhető módot kínál a jól ismert függvények ábrázolására.
Mi az a Power sorozat?
A hatványsorozat a következő formájú sorozat:
amely konvergens (esetleg) valamilyen c középpontú intervallumra. Az anegyütthatók valós vagy komplex számok lehetnek, és függetlenek x-től; azaz az álváltozó.
Ha például an=1-et állít be minden n-re, és c=0-t, akkor az 1+x+x2 hatványsort +…..+ x+… megkapjuk. Könnyen megfigyelhető, hogy amikor x ε (-1, 1), ez a hatványsor 1/(1-x)-hez konvergál.
Egy hatványsor konvergál, ha x=c. Az x többi értéke, amelyre a hatványsorok konvergálnak, mindig nyitott intervallum formájában lesznek, amelynek középpontja c. Ez azt jelenti, hogy lesz egy 0≤ R ≤ ∞ érték úgy, hogy minden x esetén, amely kielégíti |x-c|≤ R, a hatványsor konvergens, és minden x esetén, amely kielégíti |x-c|> R, a hatványsor divergens. Ezt az R értéket a hatványsorok konvergencia sugarának nevezzük (R bármilyen valós értéket vagy pozitív végtelent vehet fel).
A teljesítménysorozatok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók a következő szabályok szerint. Tekintsük a két hatványsort:
Akkor
azaz. hasonló kifejezéseket összeadnak vagy kivonnak. Ezenkívül lehetőség van a két hatványsor szorzására és osztására aazonosság használatával
Mi az a Taylor sorozat?
A Taylor-sorozat egy f (x) függvényre van definiálva, amely egy intervallumon végtelenül differenciálható. Tegyük fel, hogy f (x) differenciálható egy c középpontú intervallumon. Ezután a hatványsor, amelyet a ad meg
A
az f (x) függvény Taylor-sorozatának c körüli kiterjesztésének nevezzük. (Itt f(n) (c) jelöli az n-edik származékot x=c-ben). A Numerical Analysisben ebben a végtelen bővítésben véges számú tagot használnak az értékek kiszámításához azokon a pontokon, ahol a sorozat konvergens az eredeti függvényhez.
A f (x) függvényről azt mondjuk, hogy analitikus az (a, b) intervallumban, ha minden x ε (a, b) esetén az f (x) Taylor-sorozata az f () függvényhez konvergál. x). Például az 1/(1-x) analitikus a (-1, 1), mivel a Taylor-kiterjesztése 1+x+x2+….+ x +… az adott intervallum függvényéhez konvergál, és az ex mindenhol analitikus, mivel az ex Taylor-sorozata az e-hoz konvergál. x minden x valós számhoz.
Mi a különbség a Power sorozat és a Taylor sorozat között?
1. A Taylor sorozat a hatványsorok speciális osztálya, amely csak olyan függvényekhez van definiálva, amelyek bizonyos nyitott intervallumokon végtelenül differenciálhatók.
2. A Taylor sorozat különleges formáját ölti
mivel a hatványsorok bármely sorozata lehet
