Különbség az aritmetikai és a geometriai sorozat között

2024 Szerző: Alex Aldridge | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-17 23:35

Aritmetikai sorozat vs geometriai sorozat

A számok mintázatainak és viselkedésének tanulmányozása fontos tanulmány a matematika területén. Ezek a minták gyakran a természetben is megfigyelhetők, és segítenek nekünk viselkedésüket tudományos szempontból megmagyarázni. Az aritmetikai sorozatok és a geometriai sorozatok két alapvető mintázat, amelyek számokban fordulnak elő, és gyakran megtalálhatók a természeti jelenségekben.

A sorozat rendezett számok halmaza. A sorozat elemeinek száma lehet véges vagy végtelen.

További információ az aritmetikai sorozatról (aritmetriai progresszió)

Az aritmetikai sorozatot olyan számsorozatként határozzuk meg, amelyben az egymást követő tagok között állandó különbség van. Aritmetikai progressziónak is nevezik.

Aritmetikai sorozat ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; ahol a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, és így tovább.}

Ha a kezdeti tag a₁ és a közös különbség d, akkor a sorozat n^{th tagját a következőképpen adja meg;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

A fenti eredmény továbbvitelével az n^{th kifejezést a következőképpen is megadhatjuk:}

a_n =a_m + (n-m)d, ahol a_{m egy véletlenszerű tag olyan sorrendben, hogy n > m.}

A páros számok halmaza és a páratlan számok halmaza a legegyszerűbb példák az aritmetikai sorozatokra, ahol minden sorozatnak van egy közös különbsége (d) 2.

A sorozat tagjainak száma végtelen vagy véges lehet. A végtelen esetben (n → ∞) a sorozat a végtelenbe hajlik a közös különbségtől függően (a_{n → ±∞). Ha a közös különbség pozitív (d > 0), a sorozat a pozitív végtelenbe hajlik, és ha a közös különbség negatív (d < 0), akkor a negatív végtelenbe. Ha a kifejezések végesek, a sorozat is véges.}

A számtani sorozatban szereplő tagok összege számtani sorozatként ismert: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{és S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] megadja a sorozat (S}n)

További információ a geometriai sorozatról (geometriai progresszió)

A geometriai sorozat olyan sorozat, amelyben bármely két egymást követő tag hányadosa állandó. Ezt geometriai progressziónak is nevezik.

Geometriai sorrend ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; ahol a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, és így tovább, ahol r egy valós szám.}

Könnyebb a geometriai sorozat ábrázolása a közös arány (r) és a kezdeti tag (a) használatával. Innen ered a geometriai sorozat ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Az n^th kifejezések általános formája a_n =a₁r ^n-1. (A kezdeti kifejezés alsó indexének elvesztése ⇒ a_n =ar^n-1)

A geometriai sorozat lehet véges vagy végtelen is. Ha a tagok száma véges, a sorozatot végesnek mondjuk. És ha a tagok végtelenek, akkor a sorozat lehet végtelen vagy véges az r aránytól függően. A közös arány a geometriai sorozatok sok tulajdonságát érinti.

r > o	0 < r < +1	A sorozat konvergál – exponenciális csökkenés, azaz an → 0, n → ∞
	r=1	Állandó sorozat, azaz an=állandó
	r > 1	A szekvencia eltér – exponenciális növekedés, azaz an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	A sorozat oszcillál, de konvergál
	r=1	A sorozat váltakozó és állandó, azaz an=±konstans
	r < -1	A sorozat váltakozik és eltér. azaz an → ±∞, n → ∞
r=0	A sorozat nullákból álló karakterlánc

N. B: A fenti esetekben a₁ > 0; ha a₁ < 0, akkor az a_{n előjelek megfordulnak.}

A labda pattanásai közötti időintervallum az ideális modellben geometriai sorrendet követ, és ez egy konvergens sorozat.

A geometriai sorozat tagjainak összege geometriai sorozatként ismert; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. A geometriai sorozatok összege a következő képlettel számítható ki.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); ahol a a kezdeti tag és r az arány.}

Ha az arány, r ≤ 1, a sorozat konvergál. Végtelen sorozat esetén a konvergencia értékét a következőképpen adja meg: S_n=a/(1-r)

Mi a különbség az aritmetikai és a geometriai sorozat/progresszió között?

• Egy aritmetikai sorozatban bármely két egymást követő tagnak van közös különbsége (d), míg a geometriai sorozatban bármely két egymást követő tag állandó hányadosa (r).

• Egy aritmetikai sorozatban a tagok változása lineáris, azaz minden ponton áthaladó egyenes húzható. Egy geometriai sorozatban a változás exponenciális; vagy növekszik, vagy pusztul a közös arány alapján.

• Minden végtelen aritmetikai sorozat divergens, míg a végtelen geometriai sorozatok lehetnek divergensek vagy konvergensek.

• A geometriai sorozatok oszcillációt mutathatnak, ha az r arány negatív, míg az aritmetikai sorozat nem mutat rezgést