Különbség az aritmetikai és a geometriai sorozatok között

2024 Szerző: Alex Aldridge | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 13:41

Aritmetika vs geometriai sorozatok

A sorozat matematikai meghatározása szorosan összefügg a sorozatokkal. A sorozat a számok rendezett halmaza, és lehet véges vagy végtelen halmaz. Az olyan számsorozatot, amelyben két elem különbsége állandó, aritmetikai sorozatnak nevezzük. A két egymást követő szám állandó hányadosával rendelkező sorozatot geometriai progressziónak nevezzük. Ezek a progressziók lehetnek végesek vagy végtelenek, és ha véges, akkor a tagok száma megszámlálható, egyébként pedig megszámlálhatatlan.

Általában a progresszió elemeinek összege sorozatként definiálható. Az aritmetikai sorozat összegét számtani sorozatnak nevezzük. Hasonlóképpen, a geometriai progresszió összegét geometriai sorozatnak nevezzük.

További információ az aritmetikai sorozatról

Egy aritmetikai sorozatban az egymást követő tagok állandó különbséggel rendelkeznek.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; ahol a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d, és így tovább.}

Ez a d különbség a közös különbség néven ismert, és az n^th kifejezést a_n =a _{adja meg. 1}+ (n-1)d; ahol a_{1 az első tag.}

A sorozat viselkedése a közös különbség alapján változik d. Ha a közös különbség pozitív, a progresszió általában pozitív végtelen, és ha a közös különbség negatív, akkor a negatív végtelen felé hajlik.

A sorozat összegét a következő egyszerű képlettel kaphatjuk meg, amelyet először Aryabhata indiai csillagász és matematikus dolgozott ki.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Az S_{n összeg lehet véges vagy végtelen, a tagok száma alapján.}

További információ a Geometric Series-ről

A geometriai sorozat olyan sorozat, amelyben az egymást követő számok hányadosa állandó. Ez egy fontos sorozat, amelyet a sorozat tanulmányozása során találtak, a tulajdonságai miatt.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Az r arány alapján a sorozat viselkedése a következőképpen kategorizálható. r={|r|≥1 sorozat divergál; r≤1 sorozat konvergál}. Továbbá, ha r<0, a sorozat oszcillál, azaz a sorozatnak váltakozó értékei vannak.

A geometriai sorozatok összege a következő képlettel számítható ki. S_n =a(1-r) / (1-r); ahol a a kezdeti tag és r az arány. Ha az arány r≤1, akkor a sorozat konvergál. Végtelen sorozat esetén a konvergencia értékét az S_{n=a / (1-r) adja meg.}

A geometriai sorozatnak számos alkalmazása van a fizikai tudományok, a mérnöki és a közgazdaságtan területén

Mi a különbség az aritmetikai és a geometriai sorozat között?

• Az aritmetikai sorozatok olyan sorozatok, amelyekben két szomszédos tag állandó különbsége van.

• A geometriai sorozat két egymást követő tag állandó hányadosával rendelkező sorozat.

• Minden végtelen számtani sorozat mindig divergens, de az aránytól függően a geometriai sorozatok lehetnek konvergensek vagy divergensek.

• A geometriai sorozatok értékei ingadozhatnak; azaz a számok felváltva változtatják előjeleiket, de a számtani sorozatnak nem lehet rezgése.