Származékos vs differenciál
A differenciálszámításban egy függvény deriváltja és differenciálja szorosan összefügg egymással, de nagyon eltérő jelentéssel bírnak, és két fontos matematikai objektumot ábrázolnak, amelyek a differenciálható függvényekhez kapcsolódnak.
Mi a származék?
A függvény deriváltja azt a sebességet méri, amellyel a függvény értéke változik a bemeneti változással. A többváltozós függvényeknél a függvényérték változása a független változók értékének változási irányától függ. Ezért ilyen esetekben egy meghatározott irányt választanak, és a funkciót abban az irányban differenciálják. Ezt a deriváltot irányított deriváltnak nevezzük. A parciális deriváltok az irányderiválták egy speciális fajtája.
Egy f vektorértékű függvény származéka definiálható határértékként [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex], bárhol is létezik véges. Ahogy korábban említettük, ez megadja az f függvény növekedési sebességét az u vektor iránya mentén. Egyértékű függvény esetén ez a derivált jól ismert definíciójára redukálódik, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Például a [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] mindenhol differenciálható, és a derivált egyenlő a határértékkel, [latex]\\lim_{h \\ to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], ami egyenlő: [latex]3x^{2}+4[/latex]. Az olyan függvények származékai, mint a [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex], mindenhol léteznek. Ezek rendre megegyeznek a [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] függvényekkel.
Ez az első származékként ismert. Általában az f függvény első deriváltját f-vel jelöljük (1) Ezzel a jelöléssel most már magasabb rendű deriváltokat is definiálhatunk. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] a másodrendű irányú derivált, és az n th származékot f-vel jelöli (n) minden n-re, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], meghatározza az n th származékot.
Mi az a differenciálmű?
Egy függvény differenciája a függvény változását jelenti a független változó vagy változók változásaihoz képest. A szokásos jelölésben egyetlen x változó adott f függvényére az 1 df rendű teljes differencia a következőképpen adódik: [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Ez azt jelenti, hogy x infinitezimális változása esetén (azaz d x) f (1)(x)d x változás lesz f-ben.
Ha a korlátokat használjuk, ez a meghatározás a következőképpen alakulhat ki. Tegyük fel, hogy ∆ x az x változása tetszőleges x pontban, és ∆ f az f függvény megfelelő változása. Megmutatható, hogy ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, ahol ϵ a hiba. Most a határérték ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (a derivált korábban megadott definíciójával), és így ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Ezért lehetséges a Következtetésképpen ∆ x→ 0 ϵ=0. Most, ha ∆ x→ 0 ∆ f-et d f-ként és ∆ x→ 0 ∆ x-et d x-ként jelölünk, a differenciál definícióját szigorúan megkapjuk.
Például a [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] függvény differenciálja: [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
Két vagy több változóból álló függvények esetén egy függvény teljes differenciáját az egyes független változók irányába eső különbségek összegeként határozzuk meg. Matematikailag a következőképpen állítható ki: [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Mi a különbség a derivált és a differenciál között?
• A derivált egy függvény változási sebességére utal, míg a differenciál a függvény tényleges változására utal, amikor a független változó változásnak van kitéve.
• A derivált a következőképpen adja meg: [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], de a különbséget a [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] adja.
