Differenciálás vs származékos
A differenciálszámításban a deriválás és a differenciálás szorosan összefüggenek, de nagyon különböznek egymástól, és két fontos, a függvényekkel kapcsolatos matematikai fogalmat ábrázolnak.
Mi a származék?
A függvény deriváltja azt a sebességet méri, amellyel a függvény értéke változik a bemeneti változással. A többváltozós függvényeknél a függvényérték változása a független változók értékének változási irányától függ. Ezért ilyen esetekben egy meghatározott irányt választanak, és a funkciót abban az irányban differenciálják. Ezt a deriváltot irányított deriváltnak nevezzük. A parciális deriváltok az irányderiválták egy speciális fajtája.
Egy f vektorértékű függvény származéka definiálható határértékként [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex], bárhol is létezik véges. Ahogy korábban említettük, ez megadja az f függvény növekedési sebességét az u vektor iránya mentén. Egyértékű függvény esetén ez a derivált jól ismert definíciójára redukálódik, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Például a [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] mindenhol differenciálható, és a derivált egyenlő a határértékkel, [latex]\\lim_{h \\ to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], ami egyenlő: [latex]3x^{2}+4[/latex]. Az olyan függvények származékai, mint a [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex], mindenhol léteznek. Ezek rendre megegyeznek a [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] függvényekkel.
Ez az első származékként ismert. Általában az f függvény első deriváltját f-vel jelöljük (1) Ezzel a jelöléssel most már magasabb rendű deriváltokat is definiálhatunk. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] a másodrendű irányú derivált, és az n th származékot f-vel jelöli (n) minden n-re, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], meghatározza az n th származékot.
Mi a megkülönböztetés?
A differenciálás egy differenciálható függvény deriváltjának megtalálásának folyamata. A D-vel jelölt D-operátor bizonyos összefüggésekben differenciálást jelent. Ha x a független változó, akkor D ≡ d/dx. A D-operátor egy lineáris operátor, azaz bármely két differenciálható f és g függvény és c konstans esetén a következő tulajdonságok érvényesek.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
A D-operátor használatával a differenciálással kapcsolatos többi szabály a következőképpen fejezhető ki. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 és D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Például, ha F(x)=x 2sin x differenciálódik x-hez a megadott szabályok alapján, a válasz 2 x sin x + xlesz. 2cos x.
Mi a különbség a differenciálás és a derivált között?• A derivált egy függvény változási sebességére utal • A differenciálás egy függvény deriváltjának megtalálásának folyamata. |
