Fourier-sorozat vs Fourier-transzformáció
A Fourier-sor a periodikus függvényt különböző frekvenciájú és amplitúdójú szinuszok és koszinuszok összegére bontja. A Fourier-sor a Fourier-analízis egyik ága, és Joseph Fourier vezette be. A Fourier-transzformáció egy matematikai művelet, amely a jelet az alkotó frekvenciáira bontja. Az idővel megváltozott eredeti jelet a jel időtartománybeli reprezentációjának nevezzük. A Fourier-transzformációt a jel frekvenciatartománybeli reprezentációjának nevezzük, mivel az a frekvenciától függ. Mind a jel frekvenciatartomány-ábrázolását, mind a jelnek a frekvenciatartományba történő átalakításához használt folyamatot Fourier-transzformációnak nevezzük.
Mi az a Fourier-sorozat?
Amint korábban említettük, a Fourier-sor egy periodikus függvény kibővítése szinuszok és koszinuszok végtelen összegével. A Fourier-sort kezdetben hőegyenletek megoldására fejlesztették ki, de később kiderült, hogy ugyanez a technika számos matematikai probléma megoldására alkalmas, különösen az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenleteket tartalmazó feladatok megoldására. A Fourier sorozat számos területen alkalmazható, beleértve az elektrotechnikát, a rezgéselemzést, az akusztikát, az optikát, a jelfeldolgozást, a képfeldolgozást, a kvantummechanikát és az ökonometriát. A Fourier-sorok a szinusz- és koszinuszfüggvények ortogonalitási viszonyait használják. A Fourier-sorok számítása és tanulmányozása harmonikus analízisként ismert, és nagyon hasznos tetszőleges periodikus függvényekkel történő munkavégzés során, mivel lehetővé teszi a függvény egyszerű kifejezésekre bontását, amelyek segítségével az eredeti probléma megoldását lehet kapni.
Mi az a Fourier-transzformáció?
A Fourier-transzformáció kapcsolatot definiál az időtartományban lévő jel és a frekvenciatartománybeli reprezentációja között. A Fourier-transzformáció egy függvényt oszcillációs függvényekre bont. Mivel transzformációról van szó, az eredeti jel a transzformáció ismeretéből nyerhető, így a folyamat során információ nem keletkezik, vagy elveszik. A Fourier-sorok tanulmányozása valójában motivációt ad a Fourier-transzformációhoz. A szinuszok és koszinuszok tulajdonságai miatt egy integrál segítségével vissza lehet állítani az egyes hullámok összegéhez való hozzájárulását. A Fourier-transzformációnak van néhány alapvető tulajdonsága, mint például a linearitás, a fordítás, a moduláció, a skálázás, a konjugáció, a dualitás és a konvolúció. A Fourier-transzformációt differenciálegyenletek megoldására alkalmazzák, mivel a Fourier-transzformáció szorosan kapcsolódik a Laplace-transzformációhoz. A Fourier-transzformációt a mágneses magrezonanciában (NMR) és más spektroszkópiában is használják.
A Fourier-sorozat és a Fourier-transzformáció közötti különbség
A Fourier-sorozat a periodikus jel kiterjesztése szinuszok és koszinuszok lineáris kombinációjaként, míg a Fourier-transzformáció az a folyamat vagy funkció, amelyet a jelek időtartományból frekvenciatartományba való konvertálására használnak. Fourier-sort definiálunk a periodikus jelekre, a Fourier-transzformációt pedig az időszakos (periodikusság nélkül előforduló) jelekre lehet alkalmazni. Mint fentebb említettük, a Fourier-sorok tanulmányozása valójában motivációt ad a Fourier-transzformációhoz.
