Laplace vs Fourier-transzformációk
Mind a Laplace-transzformáció, mind a Fourier-transzformáció integrált transzformáció, amelyeket leggyakrabban matematikai módszerként alkalmaznak matematikailag modellezett fizikai rendszerek megoldására. A folyamat egyszerű. Egy összetett matematikai modellt integrál transzformáció segítségével egyszerűbb, megoldható modellré alakítunk. Az egyszerűbb modell megoldása után az inverz integrál transzformáció kerül alkalmazásra, amely megoldást nyújtana az eredeti modellre.
Például, mivel a legtöbb fizikai rendszer differenciálegyenleteket eredményez, ezek integráltranszformációval algebrai egyenletekké vagy kisebb mértékben könnyen megoldható differenciálegyenletekké alakíthatók. Akkor a probléma megoldása könnyebb lesz.
Mi az a Laplace-transzformáció?
Adott egy t valós változó f (t) függvénye, ennek Laplace-transzformációját a [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- integrál határozza meg. st}f(t)dt [/latex] (ha létezik), amely egy s komplex változó függvénye. Általában L { f (t)}-val jelöljük. Az F(s) függvény inverz Laplace-transzformációját f(t) függvénynek vesszük úgy, hogy L { f(t)}=F(s), és a szokásos matematikai jelöléssel azt írjuk, hogy L-1{ F(s)}=f(t). Az inverz transzformáció egyedivé tehető, ha a nullfüggvények nem engedélyezettek. Ez a kettő a függvénytérben definiált lineáris operátorként azonosítható, és az is könnyen belátható, hogy L -1{ L { f (t)}}=f (t), ha a null függvények nem engedélyezettek.
A következő táblázat felsorolja néhány leggyakoribb függvény Laplace-transzformációját.
Mi az a Fourier-transzformáció?
Adott egy t valós változó f (t) függvénye, a Laplace-transzformációját a [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ integrálja határozza meg. pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (ha létezik), és általában F { f jelöli (t)}. Az F -1{ F (α)} inverz transzformációt a [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi integrál adja. }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. A Fourier-transzformáció szintén lineáris, és a függvénytérben meghatározott operátornak tekinthető.
A Fourier-transzformáció használatával az eredeti függvény a következőképpen írható fel, feltéve, hogy a függvénynek csak véges számú szakadása van, és abszolút integrálható.
Mi a különbség a Laplace- és a Fourier-transzformációk között?
- Egy f (t) függvény Fourier-transzformációja: [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], míg ennek Laplace-transzformációja [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- A Fourier-transzformáció csak az összes valós számra definiált függvényekre van definiálva, míg a Laplace-transzformációhoz nem kell a függvényt a negatív valós számok halmazánál megadni.
- Fourier-transzformáció a Laplace-transzformáció speciális esete. Látható, hogy nem negatív valós számok esetén mindkettő egybeesik. (azaz vegye s a Laplace-ben iα + β-nak, ahol α és β valós, így e β=1/ √(2ᴫ))
- Minden függvény, amelyik rendelkezik Fourier-transzformációval, rendelkezik Laplace-transzformációval, de nem fordítva.
