Bíboros vs Ordinal
Mindennapi életünkben a számok használata különböző helyzetekben eltérő formát ölthet. Például amikor számolunk, hogy kitaláljuk egy objektumgyűjtemény méretét, akkor egy, kettő, három stb. Ha meg akarunk számolni valamit, hogy megértsük az objektumok helyzetét, akkor elsőnek, másodiknak, harmadiknak és így tovább számoljuk őket. A számolás első formájában a számokat kardinális számoknak mondják. A számlálás második formájában a számokat sorszámoknak tekintjük. Ebben az összefüggésben a kardinális és az ordinális fogalmak teljesen nyelvészeti dolgai; kardinális és sorszámú melléknév.
A fogalom halmazokra való kiterjesztése azonban a matematikában sokkal mélyebb és tágabb perspektívát tár fel, és nem lehet egyszerűen kezelni. Ebben a cikkben megpróbáljuk megérteni a bíboros és sorszámú számok alapvető fogalmait a matematikában.
A kardinális és sorszámok formális definícióit a halmazelmélet tartalmazza. A definíciók bonyolultak, és a tökéletes megértéshez halmazelméleti háttérismeretekre van szükség. Ezért néhány példa felé fordulunk, hogy heurisztikusan megértsük a fogalmakat.
Vegye fontolóra a két készletet: {1, 3, 6, 4, 5, 2} és {busz, autó, komp, vonat, repülőgép, helikopter}. Minden halmaz felsorol egy elemhalmazt, és ha megszámoljuk az elemek számát, akkor nyilvánvaló, hogy mindegyiknek ugyanannyi eleme van, ami 6. Erre a következtetésre jutottunk, hogy egy halmaz méretét vettük, és összehasonlítottuk egy másikkal. szám. Az ilyen számot kardinális számnak nevezzük. Ezért azt mondhatjuk, hogy a kardinális szám olyan szám, amellyel összehasonlíthatjuk a véges halmazok méretét.
Az első számkészlet ismét növekvő sorrendbe rendezhető, figyelembe véve az egyes elemek méretét és összehasonlítva őket. A rendelés során a számok kardinálisnak számítanak. Hasonlóképpen, az összes nemnegatív egész szám halmaza rendezhető egy halmazban; azaz {0, 1, 2, 3, 4, ….}. De ebben az esetben a halmaz mérete végtelenné válik, és sorszámmal megadni nem lehetséges. Függetlenül attól, hogy mekkora számot választ a halmaz méretének megadásához, továbbra is maradnak számok a kiválasztott halmazból, és amelyek nemnegatív egész számok.
Ezért a matematikusok ezt a végtelen bíborost (ami az első) Aleph-0-nak definiálják, amit א-ként írnak (a héber ábécé első betűje). Formálisan a sorszám egy jól rendezett halmaz rendelési típusa. Ezért a véges halmazok sorszáma megadható kardinális számokkal, de végtelen halmazok esetén a sorszámot olyan transzfinit számok adják meg, mint például Aleph-0.
Mi a különbség a kardinális és a sorszámok között?
• A kardinális szám egy olyan szám, amellyel számolhatunk, vagy megadhatjuk egy véges rendezett halmaz méretét. Minden kardinális szám sorszám.
• A sorszámok olyan számok, amelyek mind a véges, mind a végtelen rendezett halmazok méretét megadják. A véges rendezett halmazok méretét a szokásos hindu-arab algebrai számok, a végtelen halmazok méretét pedig transzfinit számok adják meg.
