Valós számok vs képzeletbeli számok
A számok matematikai objektumok, amelyeket számolásra és mérésre használnak. Ennek definíciója változott az évek során a nulla, a negatív számok, a racionális számok, az irracionális számok és a képzeletbeli számok hozzáadásával. Annak ellenére, hogy a számrendszerek absztrakt alapja olyan algebrai struktúrákra vonatkozik, mint a csoportok, gyűrűk és mezők, itt csak egy intuitív ötlet kerül bemutatásra.
Mi az a valós szám?
Informálisan definiálva a valós szám olyan szám, amelynek négyzete nem negatív. A matematikai jelölésben a valós számok halmazát az R szimbólummal jelöljük. Ezért minden x esetén, ha x ϵ R akkor x 2 ≥ 0. Szigorúbb módon bevezethetjük a valós számok halmazát egyedi, teljes, teljesen rendezett mezőként a bináris művelettel + és. a < sorrendi relációval együtt. Ez a sorrendi reláció a trichotómia törvényét követi, amely kimondja, hogy két x és y valós szám esetén a 3 közül csak egy teljesül; x > y, x < y vagy x=y.
Egy valós szám lehet algebrai vagy transzcendentális, attól függően, hogy egy egész együtthatós polinomiális egyenlet gyöke-e vagy sem. Ezenkívül egy valós szám lehet racionális vagy irracionális attól függően, hogy kifejezhető-e két egész szám arányaként vagy sem. Például a 2,5 valós szám, amely algebrai és racionális, de ᴫ irracionális és transzcendentális.
A valós számok halmaza kész. Ez azt jelenti, hogy a valós számok minden nemüres részhalmazához, amely fent korlátos, van egy legkisebb felső korlátja, és ebből levonható, hogy a valós számok minden nem üres részhalmazára, amely alul korlátos, van a legnagyobb alsó korlátja. Ez megkülönbözteti a valós számok halmazát a racionális számok halmazától. Lehet vitatkozni amellett, hogy a valós számok halmazát a hiányos racionális számok halmazának hézagainak kitöltésével építjük fel, ahol a hézagok irracionális számok.
Mi az a képzeletbeli szám?
Egy képzeletbeli szám olyan szám, amelynek négyzete negatív. Más szavakkal, az olyan számok, mint a √(-1), √(-100) és √(-e) képzeletbeli számok. Az összes képzeletbeli szám felírható a i formában, ahol i a képzeletbeli egység √(-1), a pedig egy nem nulla valós szám. (Figyelje meg, hogy i2=-1). Bár úgy tűnik, hogy ezek a számok nem valósak, és ahogy a neve is sugallja, nem is léteznek, számos alapvető valós alkalmazásban használják őket, például a repülés, az elektronika és a mérnöki területeken.
Mi a különbség a valós és a képzeletbeli számok között?• Egy valós szám négyzete nem negatív, de egy képzeletbeli szám négyzete negatív. • A valós számok halmaza egy teljes, teljesen rendezett mezőt alkot, míg a képzeletbeli számok halmaza nem teljes és nem rendezett. |
