Különbség az integráció és az összegzés között

2024 Szerző: Alex Aldridge | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 13:41

Integráció vs összegzés

A középiskola feletti matematikában az integráció és az összegzés gyakran megtalálható a matematikai műveletekben. Látszólag különböző eszközökként és különböző helyzetekben használják őket, de nagyon szoros kapcsolat van közöttük.

További információ az Összegzésről

Az összegzés egy számsorozat összeadásának művelete, amelyet gyakran a görög Σ nagy szigma betűvel jelölnek. Az összegzés rövidítésére szolgál, és egyenlő a sorozat összegével/összegével. Gyakran használják a sorozatok ábrázolására, amelyek lényegében végtelen sorozatok összegezve. Használhatók vektorok, mátrixok vagy polinomok összegének jelzésére is.

Az összegzést általában egy általános kifejezéssel reprezentálható értéktartományra, például egy közös taggal rendelkező sorozatra végzik. Az összegzés kezdőpontja és végpontja az összegzés alsó és felső határaként ismert.

Például a₁, a₂, a₃, a sorozat összege ₄, …, a_n a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, amely könnyen ábrázolható az összegzési jelöléssel: ∑ _i=1 a_{i; az összegzés indexének hívják.}

Az alkalmazáson alapuló összegzéshez számos változatot használnak. Egyes esetekben a felső és alsó korlát megadható intervallumként vagy tartományként, például ∑_1≤i≤100 a_i és ∑_{i∈[1, 100]} a_i Vagy megadható számok halmazaként is, például ∑_i∈P a_{i, ahol P egy meghatározott halmaz.}

Egyes esetekben két vagy több szigmajel is használható, de ezek az alábbiak szerint általánosíthatók; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Az összegzés számos algebrai szabályt is követ. Mivel a beágyazott művelet az összeadás, az algebra általános szabályai közül sok alkalmazható magára az összegre és az összegzéssel ábrázolt egyes tagokra.

További információ az integrációról

Az integrációt a differenciálás fordított folyamataként határozzuk meg. De geometriai nézetében a függvény és a tengely görbéje által bezárt területnek is tekinthető. Ezért a terület kiszámítása megadja egy határozott integrál értékét, ahogy az a diagramon látható.

Kép forrása:

A határozott integrál értéke valójában a görbén és a tengelyen belüli kis csíkok összege. Az egyes csíkok területe a magasság × szélesség az adott tengely pontjában. A szélesség egy olyan érték, amelyet választhatunk, mondjuk ∆x. A magasság pedig megközelítőleg a függvény értéke a vizsgált pontban, mondjuk f (x_{i). A diagramból kitűnik, hogy minél kisebbek a csíkok, annál jobban illeszkednek a behatárolt területen belülre, így jobb az érték közelítése.}

Tehát általában az a és b pontok közötti I határozott integrál (azaz az [a, b] intervallumban, ahol a<b) megadható úgy, hogy I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, ahol n a csíkok száma (n=(b-a)/∆x). A terület összegzése könnyen ábrázolható az összegzési jelöléssel: I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Mivel a közelítés jobb, ha ∆x kisebb, az értéket akkor tudjuk kiszámítani, ha ∆x→0. Ezért ésszerű azt mondani, hogy I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

A fenti fogalomból általánosításként választhatjuk a ∆x-et az i-vel indexelt figyelembe vett intervallum alapján (a terület szélességének megválasztása a pozíció alapján). Akkor kapunk

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Ez az f (x) függvény Reimann-integrálja az [a, b] intervallumban. Ebben az esetben a és b az integrál felső és alsó korlátja. A Reimann-integrál minden integrációs módszer alapformája.

Lényegében az integráció a terület összegzése, ha a téglalap szélessége végtelenül kicsi.

Mi a különbség az integráció és az összegzés között?

• Az összegzés egy számsorozat összeadása. Általában az összegzést ebben a formában adják meg: ∑_i=1 a_{i, amikor a kifejezések a sorozatban mintázata van, és általános kifejezéssel fejezhető ki.}

• Az integráció alapvetően a függvény görbéje, a tengely, valamint a felső és alsó határok által határolt terület. Ez a terület a behatárolt területen lévő sokkal kisebb területek összegeként is megadható.

• Az összegzés magában foglalja a diszkrét értékeket a felső és alsó határral, míg az integráció folytonos értékeket.

• Az integráció az összegzés speciális formájaként értelmezhető.

• A numerikus számítási módszerekben az integráció mindig összegzésként történik.