Paralelogramma vs trapéz
A paralelogramma és a trapéz (vagy a trapéz) két konvex négyszög. Annak ellenére, hogy ezek négyszögek, a trapéz geometriája jelentősen eltér a paralelogrammákétól.
Paralelogramma
A paralelogramma úgy definiálható, mint egy geometriai alakzat, amelynek négy oldala van, és a szemközti oldalak egymással párhuzamosak. Pontosabban ez egy négyszög, amelynek két pár párhuzamos oldala van. Ez a párhuzamos jelleg számos geometriai jellemzőt ad a paralelogrammáknak.
A négyszög paralelogramma, ha a következő geometriai jellemzőket találjuk.
• Két pár szemközti oldal egyenlő hosszúságú. (AB=DC, AD=BC)
• Két ellentétes szögpár egyenlő méretű. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Ha a szomszédos szögek kiegészítő [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Az egymással szemben lévő oldalpár párhuzamos és egyenlő hosszúságú. (AB=DC és AB∥DC)
• Az átlók felezik egymást (AO=OC, BO=OD)
• Mindegyik átló két egybevágó háromszögre osztja a négyszöget. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Továbbá az oldalak négyzeteinek összege egyenlő az átlók négyzeteinek összegével. Ezt néha paralelogramma törvénynek is nevezik, és széles körben alkalmazzák a fizikában és a mérnöki munkákban. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
A fenti jellemzők mindegyike használható tulajdonságként, miután megállapítottuk, hogy a négyszög paralelogramma.
A paralelogramma területe az egyik oldal hosszának és a szemközti oldal magasságának szorzatából számítható ki. Ezért a paralelogramma területe
Paralelogramma területe=alap × magasság=AB×h
A paralelogramma területe független az egyes paralelogramma alakjától. Csak az alap hosszától és a merőleges magasságtól függ.
Ha egy paralelogramma oldalai két vektorral ábrázolhatók, akkor a területet a két szomszédos vektor vektorszorzatának (keresztszorzatának) nagyságával kaphatjuk meg.
Ha az AB és AD old alt a ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) és ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) vektorok képviselik, akkor az paralelogramma a [latex]\bal | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], ahol α a [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] és a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] közötti szög.
A paralelogramma néhány speciális tulajdonsága az alábbiakban található;
• Egy paralelogramma területe kétszerese annak a háromszögnek, amelyet bármelyik átlója alkot.
• A paralelogramma területét a felezőponton átmenő bármely egyenes felezi.
• Bármilyen nem degenerált affin transzformáció egy paralelogrammát egy másik paralelogrammává tesz
• Egy paralelogramma forgásszimmetriája 2. rendű
• A paralelogramma bármely belső pontja és az oldalai közötti távolságok összege független a pont helyétől
Trapéz
A trapéz (vagy brit angolul Trapezium) egy konvex négyszög, amelynek legalább két oldala párhuzamos és nem egyenlő hosszúságú. A trapéz párhuzamos oldalait alapoknak, a másik két old alt pedig lábaknak nevezzük.
A trapézok fő jellemzői az alábbiakban találhatók;
• Ha a szomszédos szögek nem ugyanazon a trapéz alapon vannak, akkor ezek kiegészítő szögek. azaz összeadják a 180°-ot ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latex])
• A trapéz mindkét átlója azonos arányban metszi egymást (az átlók metszete közötti arány egyenlő).
• Ha a és b bázisok és c, d lábak, az átlók hosszát a adja meg.
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
és
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
A trapéz területe a következő képlettel számítható ki
Trapéz területe=[latex]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
Mi a különbség a párhuzamos és a trapéz (trapéz) között?
• A paralelogramma és a trapéz is konvex négyszög.
• Egy paralelogrammában a szemközti oldal mindkét párja párhuzamos, míg a trapézben csak egy pár párhuzamos.
• A paralelogramma átlói felezik egymást (1:1 arány), míg a trapéz átlói a metszetek közötti állandó aránnyal metszik egymást.
• A paralelogramma területe a magasságtól és az alaptól, míg a trapéz területe a magasságtól és a középszakasztól függ.
• A paralelogramma átlója által alkotott két háromszög mindig egybevágó, míg a trapéz háromszögei lehetnek egybevágóak vagy nem.
