Különbség-egyenlet vs differenciálegyenlet
Egy természeti jelenség matematikailag leírható számos független változó és paraméter függvényével. Különösen, ha ezeket a térbeli helyzet és az idő függvényében fejezzük ki, ez egyenleteket eredményez. A függvény a független változók vagy a paraméterek változásával változhat. A függvényben végtelenül kicsi változást, ha az egyik változó megváltozik, a függvény deriváltjának nevezzük.
A differenciálegyenlet bármely olyan egyenlet, amely egy függvény deriváltjait, valamint magát a függvényt tartalmazza. Egy egyszerű differenciálegyenlet Newton második mozgástörvénye. Ha egy m tömegű objektum „a” gyorsulással mozog, és F erővel hat rá, akkor Newton második törvénye azt mondja, hogy F=ma. Itt is az „a” idővel változik, az „a”-t átírhatjuk így; a=dv/dt; v a sebesség. A sebesség a tér és az idő függvénye, azaz v=ds/dt; ezért ‘a’=d2s/dt2
Ezeket szem előtt tartva átírhatjuk Newton második törvényét differenciálegyenletként;
'F' v és t függvényében – F(v, t)=mdv/dt, vagy
'F' s és t függvényében – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Kétféle differenciálegyenlet létezik; közönséges differenciálegyenlet, rövidítve ODE vagy parciális differenciálegyenlet, rövidítve PDE. A közönséges differenciálegyenletben közönséges deriváltak (csak egy változó deriváltjai) lesznek. A parciális differenciálegyenletben differenciális deriváltak (egynél több változó deriváltjai) lesznek.
pl. F=m d2s/dt2 egy ODE, míg α2 d 2u/dx2=du/dt egy PDE, t és x származékai vannak.
A differenciálegyenlet ugyanaz, mint a differenciálegyenlet, de más kontextusban nézzük. A differenciálegyenletekben a független változót, például az időt a folytonos időrendszer összefüggésében tekintjük. A diszkrét időrendszerben a függvényt differenciaegyenletnek nevezzük.
A különbségi egyenlet a különbségek függvénye. A független változókban háromféle különbség van; számsor, diszkrét dinamikus rendszer és iterált függvény.
A számsorozatban a változás rekurzív módon generálódik egy szabály segítségével, amely a sorozat minden egyes számát a sorozat előző számaihoz kapcsolja.
A differenciálegyenlet egy diszkrét dinamikus rendszerben diszkrét bemeneti jelet vesz fel, és kimeneti jelet állít elő.
A differenciaegyenlet egy iterált leképezés az iterált függvényekhez. Pl. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(y0))), ….egy iterált függvény sorozata. Az f(y0) az y0 első iterációja. A k-edik iterációt fk jelöli. (y0).
