Paralelogramma vs négyszög
A négyszögek és a paralelogrammák az euklideszi geometriában megtalálható sokszögek. A paralelogramma a négyszög speciális esete. A négyszögek lehetnek sík (2D) vagy 3 dimenziósak, míg a paralelogrammák mindig síkok.
Négyszög
Négyszög egy sokszög, amelynek négy oldala van. Négy csúcsa van, és a belső szögek összege 3600 (2π rad). A négyszögeket önmetsző és egyszerű négyszög kategóriákba soroljuk. Az önmetsző négyszögeknek két vagy több oldala keresztezi egymást, és a négyszög belsejében kisebb geometriai alakzatok (például háromszögek) vannak kialakítva.
Az egyszerű négyszögeket konvex és konkáv négyszögekre is felosztják. A homorú négyszögek szomszédos oldalai reflexszögeket képeznek az ábrán belül. Azok az egyszerű négyszögek, amelyeknek nincs belső reflexszögük, konvex négyszögek. A konvex négyszögeknek mindig lehetnek tesszellációi.
A kezdeti szinteken lévő négyszögek geometriájának nagy része a konvex négyszögekre vonatkozik. Néhány négyszög nagyon ismerős számunkra az általános iskolák idejéből. A következő diagram a különböző konvex négyszögeket mutatja.
Paralelogramma
A paralelogramma úgy definiálható, mint egy geometriai alakzat, amelynek négy oldala van, és a szemközti oldalak egymással párhuzamosak. Pontosabban ez egy négyszög, amelynek két pár párhuzamos oldala van. Ez a párhuzamos jelleg számos geometriai jellemzőt ad a paralelogrammáknak.
A négyszög paralelogramma, ha a következő geometriai jellemzőket találjuk.
• Két pár szemközti oldal egyenlő hosszúságú. (AB=DC, AD=BC)
• Két ellentétes szögpár egyenlő méretű. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Ha a szomszédos szögek kiegészítő [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Az egymással szemben lévő oldalpár párhuzamos és egyenlő hosszúságú. (AB=DC és AB∥DC)
• Az átlók felezik egymást (AO=OC, BO=OD)
• Mindegyik átló két egybevágó háromszögre osztja a négyszöget. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Továbbá az oldalak négyzeteinek összege egyenlő az átlók négyzeteinek összegével. Ezt néha paralelogramma törvénynek is nevezik, és széles körben alkalmazzák a fizikában és a mérnöki munkákban. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
A fenti jellemzők mindegyike használható tulajdonságként, miután megállapítottuk, hogy a négyszög paralelogramma.
A paralelogramma területe az egyik oldal hosszának és a szemközti oldal magasságának szorzatából számítható ki. Ezért a paralelogramma területe
Paralelogramma területe=alap × magasság=AB×h
A paralelogramma területe független az egyes paralelogramma alakjától. Csak az alap hosszától és a merőleges magasságtól függ.
Ha egy paralelogramma oldalai két vektorral ábrázolhatók, akkor a területet a két szomszédos vektor vektorszorzatának (keresztszorzatának) nagyságával kaphatjuk meg.
Ha az AB és AD old alt a ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) és ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) vektorok képviselik, akkor az paralelogramma a [latex]\bal | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], ahol α a [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] és a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] közötti szög.
A paralelogramma néhány speciális tulajdonsága az alábbiakban található;
• Egy paralelogramma területe kétszerese annak a háromszögnek, amelyet bármelyik átlója alkot.
• A paralelogramma területét a felezőponton átmenő bármely egyenes felezi.
• Bármilyen nem degenerált affin transzformáció egy paralelogrammát egy másik paralelogrammává tesz
• Egy paralelogramma forgásszimmetriája 2. rendű
• A paralelogramma bármely belső pontja és az oldalai közötti távolságok összege független a pont helyétől
Mi a különbség a párhuzamos és a négyszög között?
• A négyszögek négy oldalú sokszögek (néha tetragonnak is nevezik), míg a paralelogramma a négyszög speciális típusa.
• A négyszögek oldalai lehetnek különböző síkban (3d térben), míg a paralelogramma minden oldala ugyanazon a síkon (sík/2dimenziós) található.
• A négyszög belső szögei tetszőleges értéket vehetnek fel (beleértve a reflexszögeket is), így összegük elérheti a 3600-at. A paralelogrammáknál csak a tompaszögek lehetnek a maximális szögtípusok.
• A négyszög négy oldala különböző hosszúságú lehet, míg a paralelogramma szemközti oldalai mindig párhuzamosak egymással és egyenlő hosszúságúak.
• Bármely átló a paralelogrammát két egybevágó háromszögre osztja, míg az általános négyszög átlójával alkotott háromszögek nem feltétlenül egybevágóak.
