Paralelogramma vs téglalap
A paralelogramma és a téglalap négyszögek. Ezeknek az alakoknak a geometriáját az ember évezredek óta ismerte. A témát Eukleidész görög matematikus „Elemek” című könyve kifejezetten tárgyalja.
Paralelogramma
A paralelogramma úgy definiálható, mint egy geometriai alakzat, amelynek négy oldala van, és a szemközti oldalak egymással párhuzamosak. Pontosabban ez egy négyszög, amelynek két pár párhuzamos oldala van. Ez a párhuzamos jelleg számos geometriai jellemzőt ad a paralelogrammáknak.
A négyszög paralelogramma, ha a következő geometriai jellemzőket találjuk.
• Két pár szemközti oldal egyenlő hosszúságú. (AB=DC, AD=BC)
• Két ellentétes szögpár egyenlő méretű. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Ha a szomszédos szögek kiegészítő [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Az egymással szemben lévő oldalpár párhuzamos és egyenlő hosszúságú. (AB=DC és AB∥DC)
• Az átlók felezik egymást (AO=OC, BO=OD)
• Mindegyik átló két egybevágó háromszögre osztja a négyszöget. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Továbbá az oldalak négyzeteinek összege egyenlő az átlók négyzeteinek összegével. Ezt néha paralelogramma törvénynek is nevezik, és széles körben alkalmazzák a fizikában és a mérnöki munkákban. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
A fenti jellemzők mindegyike használható tulajdonságként, miután megállapítottuk, hogy a négyszög paralelogramma.
A paralelogramma területe az egyik oldal hosszának és a szemközti oldal magasságának szorzatából számítható ki. Ezért a paralelogramma területe
Paralelogramma területe=alap × magasság=AB×h
A paralelogramma területe független az egyes paralelogramma alakjától. Csak az alap hosszától és a merőleges magasságtól függ.
Ha egy paralelogramma oldalai két vektorral ábrázolhatók, akkor a területet a két szomszédos vektor vektorszorzatának (keresztszorzatának) nagyságával kaphatjuk meg.
Ha az AB és AD old alt a ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) és ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) vektorok képviselik, akkor az paralelogramma a [latex]\bal | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], ahol α a [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] és a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] közötti szög.
A paralelogramma néhány speciális tulajdonsága az alábbiakban található;
• Egy paralelogramma területe kétszerese annak a háromszögnek, amelyet bármelyik átlója alkot.
• A paralelogramma területét a felezőponton átmenő bármely egyenes felezi.
• Bármilyen nem degenerált affin transzformáció egy paralelogrammát egy másik paralelogrammává tesz
• Egy paralelogramma forgásszimmetriája 2. rendű
• A paralelogramma bármely belső pontja és az oldalai közötti távolságok összege független a pont helyétől
Téglalap
A négy derékszögű négyszöget téglalapnak nevezzük. A paralelogramma egy speciális esete, ahol bármely két szomszédos oldal közötti szögek derékszögek.
A paralelogramma összes tulajdonsága mellett további jellemzők is felismerhetők, ha figyelembe vesszük a téglalap geometriáját.
• A csúcsok minden szöge derékszög.
• Az átlók egyenlő hosszúságúak, és felezik egymást. Ezért a kettévágott szakaszok is egyenlő hosszúságúak.
• Az átlók hosszát Pythagoras tételével lehet kiszámítani:
PQ2 + PS2 =SQ2
• A területképlet a hosszúság és a szélesség szorzatára csökken.
Téglalap területe=hosszúság × szélesség
• Számos szimmetrikus tulajdonság található egy téglalapon, például;
– A téglalap ciklikus, ahol az összes csúcs a kör kerületére helyezhető.
– Egyenlőszögű, ahol minden szög egyenlő.
– Izogonális, ahol minden sarok ugyanazon a szimmetriapályán belül van.
– Reflexiós szimmetriával és forgásszimmetriával is rendelkezik.
Mi a különbség a párhuzamos és a téglalap között?
• A paralelogramma és a téglalap négyszögek. A téglalap a paralelogrammák speciális esete.
• Bármelyik területe kiszámítható az alap × magasság képlettel.
• Figyelembe véve az átlókat;
– A paralelogramma átlói felezik egymást, és felezik a paralelogrammát, így két egybevágó háromszöget alkotnak.
– A téglalap átlói egyenlő hosszúságúak és felezik egymást; kettévágott szakaszok egyenlő hosszúságúak. Az átlók kettévágják a téglalapot két egybevágó derékszögű háromszögre.
• Figyelembe véve a belső szögeket;
– A paralelogramma egymással szemben lévő belső szögei egyenlő méretűek. Két szomszédos belső szög kiegészítő
– A téglalap mind a négy belső szöge derékszög.
• Figyelembe véve az oldalakat;
– Egy paralelogrammában az oldalak négyzetösszege megegyezik az átló négyzetösszegével (Paralelogramma törvény)
– A téglalapokban a két szomszédos oldal négyzetösszege megegyezik a végein lévő átló négyzetével. (Pitagorasz-szabály)
