Valószínűségi eloszlási függvény vs valószínűségi sűrűségfüggvény
A valószínűség egy esemény bekövetkezésének valószínűsége. Ez az ötlet nagyon gyakori, és gyakran használják a mindennapi életben, amikor felmérjük lehetőségeinket, tranzakcióinkat és sok más dolgot. Ennek az egyszerű koncepciónak a kiterjesztése egy nagyobb eseménysorozatra némileg nagyobb kihívást jelent. Például nem tudjuk könnyen kitalálni a lottón nyerési esélyeket, de kényelmes, meglehetősen intuitív, ha azt mondjuk, hogy hatból egynek a valószínűsége, hogy egy dobott kockával a hatodik helyet kapjuk.
Amikor a megtörténhet események száma egyre növekszik, vagy az egyedi lehetőségek száma nagy, a valószínűségnek ez a meglehetősen egyszerű elképzelése meghiúsul. Ezért egy szilárd matematikai definíciót kell adni, mielőtt a nagyobb bonyolultságú problémákat megközelítené.
Amikor egy-egy szituációban nagy az események száma, lehetetlen minden eseményt külön-külön úgy tekinteni, mint a dobott kocka példájában. Ezért az események teljes halmazát összefoglaljuk a valószínűségi változó fogalmának bevezetésével. Ez egy olyan változó, amely az adott szituációban (vagy a mintatérben) különböző események értékeit veheti fel. Matematikai értelmet ad a szituáció egyszerű eseményeinek, és az esemény matematikai megközelítésének módját. Pontosabban, a valószínűségi változó egy valós értékfüggvény a mintatér elemei felett. A valószínűségi változók lehetnek diszkrétek vagy folytonosak. Általában az angol ábécé nagybetűivel jelölik őket.
A valószínűségi eloszlási függvény (vagy egyszerűen a valószínűségi eloszlás) egy olyan függvény, amely minden eseményhez hozzárendeli a valószínűségi értékeket; azaz összefüggést ad a valószínűségi változók által felvehető értékekhez. A valószínűség-eloszlási függvény diszkrét valószínűségi változókra van definiálva.
A valószínűségi sűrűségfüggvény a folytonos valószínűségi változók valószínűségi eloszlásfüggvényének megfelelője, megadja annak valószínűségét, hogy egy adott valószínűségi változó egy bizonyos értéket vesz fel.
Ha X egy diszkrét valószínűségi változó, akkor az X tartományon belüli minden x-re f (x)=P (X=x) formában megadott függvényt valószínűségi eloszlási függvénynek nevezzük. Egy függvény akkor és csak akkor szolgálhat valószínűségi eloszlási függvényként, ha a függvény teljesíti a következő feltételeket.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
A valós számok halmaza felett definiált f (x) függvényt az X folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvényének nevezzük, akkor és csak akkor, ha
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx bármely a és b valós állandóra.
A valószínűségi sűrűségfüggvénynek a következő feltételeknek is eleget kell tennie.
1. f (x) ≥ 0 minden x esetén: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Mind a valószínűségi eloszlásfüggvény, mind a valószínűségi sűrűségfüggvény a valószínűségek mintatérbeli eloszlását ábrázolja. Általában ezeket valószínűségi eloszlásoknak nevezik.
A statisztikai modellezéshez szabványos valószínűségi sűrűségfüggvényeket és valószínűségi eloszlásfüggvényeket származtatnak. A normál eloszlás és a standard normális eloszlás a folytonos valószínűségi eloszlások példái. A binomiális eloszlás és a Poisson-eloszlás a diszkrét valószínűségi eloszlások példái.
Mi a különbség a valószínűségi eloszlás és a valószínűségi sűrűségfüggvény között?
• A valószínűségi eloszlási függvény és a valószínűségi sűrűségfüggvény a mintatérben meghatározott függvények, amelyekkel minden elemhez hozzá kell rendelni a megfelelő valószínűségi értéket.
• A diszkrét valószínűségi változókhoz a valószínűségi eloszlásfüggvények, míg a folytonos valószínűségi változókhoz a valószínűségi sűrűségfüggvények vannak definiálva.
• A valószínűségi értékek (azaz a valószínűségi eloszlások) eloszlását a valószínűségi sűrűségfüggvény és a valószínűségi eloszlásfüggvény ábrázolja a legjobban.
• A valószínűségi eloszlásfüggvény ábrázolható értékekként egy táblázatban, de ez nem lehetséges a valószínűségi sűrűségfüggvénynél, mert a változó folytonos.
• Az ábrázoláskor a valószínűségi eloszlásfüggvény oszlopdiagramot, míg a valószínűségi sűrűségfüggvény görbét ad.
1
• Mindkét esetben a függvény összes értékének nem negatívnak kell lennie.
