Véletlen változók vs valószínűségi eloszlás
A statisztikai kísérletek véletlenszerű kísérletek, amelyek korlátlanul megismételhetők ismert eredményekkel. Mind a valószínűségi változókat, mind a valószínűségi eloszlásokat társítják az ilyen kísérletekhez. Minden valószínűségi változóhoz tartozik egy valószínűség-eloszlás, amelyet egy kumulatív eloszlási függvény határoz meg.
Mi az a valószínűségi változó?
A valószínűségi változó egy olyan függvény, amely számértékeket rendel egy statisztikai kísérlet eredményeihez. Más szavakkal, ez egy statisztikai kísérlet mintateréből a valós számok halmazába definiált függvény.
Vegyünk például egy véletlenszerű kísérletet egy érme kétszeri feldobásával. A lehetséges kimenetelek HH, HT, TH és TT (H – fejek, T – mesék). Legyen X változó a kísérletben megfigyelt fejek száma. Ekkor X felveheti a 0, 1 vagy 2 értékeket, és ez egy valószínűségi változó. Itt az X valószínűségi változó leképezi az S={HH, HT, TH, TT} halmazt (a mintateret) a {0, 1, 2} halmazra oly módon, hogy HH 2-re, HT-ra és TH-ra van leképezve. A függvény jelölésében ez a következőképpen írható fel: X: S → R ahol X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 és X(TT)=0.
Kétféle valószínűségi változó van: diszkrét és folytonos, ennek megfelelően a valószínűségi változó által felvehető lehetséges értékek száma legfeljebb megszámlálható vagy nem. Az előző példában az X valószínűségi változó egy diszkrét valószínűségi változó, mivel a {0, 1, 2} egy véges halmaz. Most nézzük meg azt a statisztikai kísérletet, amellyel megkereshetjük az osztály tanulóinak súlyát. Legyen Y a tanuló súlyaként meghatározott valószínűségi változó. Y egy adott intervallumon belül tetszőleges valós értéket vehet fel. Ezért Y egy folytonos valószínűségi változó.
Mi az a valószínűségi eloszlás?
A valószínűségi eloszlás egy függvény, amely leírja annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó bizonyos értékeket vesz fel.
A kumulatív eloszlásfüggvénynek (F) nevezett függvény definiálható a valós számok halmazából a valós számok halmazába, így F(x)=P(X ≤ x) (annak valószínűsége, hogy X kisebb, mint vagy egyenlő x) minden lehetséges x eredményre. Most az X kumulatív eloszlásfüggvénye az első példában F(a)=0-ként írható fel, ha a<0; F(a)=0,25, ha 0 Diszkrét valószínűségi változók esetén a lehetséges kimenetek halmazából a valós számok halmazába egy függvény definiálható úgy, hogy ƒ(x)=P(X=x) (X valószínűsége egyenlő x) minden lehetséges x eredményre. Ezt a bizonyos ƒ függvényt az X valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvényének nevezzük. Most az X valószínűségi tömegfüggvénye az első konkrét példában így írható fel: ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25, és egyébként ƒ(x)=0. Így a valószínűségi tömegfüggvény a kumulatív eloszlásfüggvénnyel együtt leírja X valószínűségi eloszlását az első példában. Folytonos valószínűségi változók esetén a valószínűségi sűrűségfüggvénynek (ƒ) nevezett függvény a következőképpen definiálható: ƒ(x)=dF(x)/dx minden x-re, ahol F a halmozott eloszlásfüggvény folytonos valószínűségi változó. Könnyen belátható, hogy ez a függvény teljesíti a ∫ƒ(x)dx=1-et. A valószínűségi sűrűségfüggvény a kumulatív eloszlásfüggvénnyel együtt egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlását írja le. Például a normális eloszlást (amely egy folytonos valószínűségi eloszlás) a ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) valószínűségi sűrűségfüggvénnyel írjuk le µ)]2/(2σ2)). Mi a különbség a véletlen változók és a valószínűségi eloszlás között? • A véletlenszerű változó egy olyan függvény, amely egy mintatér értékeit valós számhoz társítja. • A valószínűségi eloszlás olyan függvény, amely a valószínűségi változó által felvehető értékeket a megfelelő előfordulási valószínűséghez rendeli.
