Különbség a Riemann-integrál és a Lebesgue-integrál között

2024 Szerző: Alex Aldridge | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 13:41

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Az integráció a kalkulus egyik fő témája. Tágabb értelemben az integrációt a differenciálódás fordított folyamatának tekinthetjük. Valós problémák modellezésekor könnyen lehet származékokat tartalmazó kifejezéseket írni. Ilyen helyzetben az integrációs műveletre van szükség annak a függvénynek a megtalálásához, amely az adott deriváltot adta.

Más szempontból az integráció egy folyamat, amely egy ƒ(x) és δx függvény szorzatát összegzi, ahol δx egy bizonyos határérték. Ezért az integrációs szimbólumot ∫-ként használjuk. A ∫ szimbólum valójában az, amit úgy kapunk, hogy az s betűt kinyújtjuk az összegre.

Riemann Integral

Vegyünk egy y=ƒ(x) függvényt. Az a és b közötti y integrál, ahol a és b egy x halmazhoz tartozik, _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Ezt az egyértékű és folytonos y=ƒ(x) függvény a és b között meghatározott integráljának nevezzük. Ez megadja a görbe alatti területet a és b között. Ezt Riemann-integrálnak is nevezik. A Riemann integrált Bernhard Riemann készítette. A folytonos függvény Riemann-integrálja a Jordan-mértéken alapul, ezért a függvény Riemann-összegeinek határaként is definiálható. Zárt intervallumon definiált valós értékű függvény esetén a függvény Riemann-integrálja egy partícióhoz képest x₁, x₂, …, x n _{az [a, b] és t}1_{, t}2_{, …, t intervallumon definiálva n}, ahol x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 ehhez: mindegyik i ε {1, 2, …, n}, Riemann összeg Σ_{i=o-tól n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

A Lebesgue az integrál egy másik típusa, amely az esetek széles skáláját fedi le, mint a Riemann integrál. A lebesgue integrált Henri Lebesgue vezette be 1902-ben. A Legesgue-integráció a Riemann-integráció általánosításának tekinthető.

Miért kell még egy integrált tanulmányoznunk?

Vegyük figyelembe a ƒ_{A (x)=}{_{0 karakterisztikus függvényt, ha, x nem ε A}^{1 ha, x ε A}egy A halmazon. Ezután a karakterisztikus függvények véges lineáris kombinációja, amelyet a következőképpen definiálunk: F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) egyszerű függvénynek nevezzük, ha E} i _{minden i-re mérhető. Az F (x) E feletti Lebesgue-integrálját} E_{∫ ƒ(x)dx jelöli. Az F (x) függvény nem integrálható Riemannal. Ezért a Lebesgue-integrál a Riemann-integrál átfogalmazása, amely bizonyos korlátozásokat tartalmaz az integrálandó függvényekre vonatkozóan.}

Mi a különbség a Riemann Integral és a Lebesgue Integral között?

· A Lebesgue-integrál a Riemann-integrál általánosító alakja.

· A Lebesgue-integrál megszámlálható végtelen szakadást tesz lehetővé, míg a Riemann-integrál véges számú diszkontinuitást tesz lehetővé.