Tranzitív tulajdonság vs helyettesítő tulajdonság
A helyettesítési tulajdonság a számokat képviselő értékekhez vagy változókhoz használatos. Az egyenlőség helyettesítési tulajdonsága kimondja, hogy bármely a és b szám esetén, ha a=b, akkor a helyettesíthető b-vel. Ezért, ha a=b, akkor bármelyik „a”-t megváltoztathatjuk „b”-re, vagy bármely „b”-t „a”-ra.
Ha például adott, hogy x=6, akkor megoldhatjuk az (x+4)/5 kifejezést x értékének behelyettesítésével. A fenti kifejezésben az x helyett 5-tel; (6+4)/5=2. Lényegében bármely két érték helyettesíthető egymással, akkor és csak akkor, ha egyenlők egymással.
A geometriában van egy helyettesítési tulajdonság definiálva. A helyettesítési tulajdonság definíciója szerint, ha két geometriai objektum (lehet két szög, szakasz, háromszög vagy bármi más) egybevágó, akkor ez a két geometriai objektum helyettesíthető egymással az egyiket tartalmazó utasításban.
A tranzitív tulajdonság formálisabb definíció, amelyet bináris relációkon határoznak meg. Egy R reláció az A halmazból a B halmazba rendezett párok halmaza, ha A és B egyenlő, akkor azt mondjuk, hogy a reláció bináris reláció az A-n. A tranzitív tulajdonság az egyik a tulajdonságok közül (Reflexív, Szimmetrikus, Tranzitív) az ekvivalencia relációk meghatározására szolgál.
A R reláció akkor és csak akkor tranzitív, ha x-et R viszonyítja y-hoz, y-t pedig R z-hez, akkor x-et R z-hez köti. Szimbolikusan egy tranzitív tulajdonság a következőképpen definiálható. Legyen az A halmazhoz tartozó a, b és c egy '~' bináris relációnak a következő által meghatározott tranzitív tulajdonsága: Ha a ~ b és b ~ c, akkor ebből a ~ c.
Például a „nagyobbnak lenni, mint” egy tranzitív reláció. Ha a, b és c olyan valós számok, amelyeknél a nagyobb, mint b, és b nagyobb, mint c, akkor logikus következmény, hogy a nagyobb, mint c. A „magasabbnak lenni” szintén tranzitív reláció. Ha Kate magasabb Marynél, Mary pedig Jenneynél, az azt jelenti, hogy Kate magasabb Jenneynél.
Nem alkalmazhatunk tranzitív relációs kritériumokat minden bináris relációra. Például, ha Bill John apja, John pedig Fred apja, ami nem jelenti azt, hogy Bill Fred apja. Hasonlóképpen, a „tetszik” nem tranzitív tulajdonság. Ha Wilson kedveli Henryt, Henry pedig Davidet, az nem jelenti azt, hogy Wilson kedveli Davidet. Ezért ez nem tranzitív reláció.
A geometriában a tranzitív tulajdonság (három szegmensre vagy szögre) a következőképpen van meghatározva:
Ha két szegmens (vagy szög) egybevágó egy harmadik szegmenssel (vagy szöggel), akkor egybevágóak egymással.
Az egyenlőség tranzitív tulajdonságát a következőképpen határozzuk meg. Legyen a, b és c tetszőleges három elem az A halmazban úgy, hogy a=b és b=c, majd a=c. Ez hasonlít a helyettesítési tulajdonsághoz, amely az a=b egyenletben b-t c-re cseréli. Ez a két tulajdonság azonban nem ugyanaz.
