Asszociatív vs kommutatív
Mindennapi életünkben mindig számokat kell használnunk, amikor valamilyen mértéket kell mérnünk. Az élelmiszerboltban, a benzinkúton, sőt a konyhában is össze kell adnunk, ki kell vonnunk és szoroznunk kell két vagy több mennyiséget. Gyakorlatunkból ezeket a számításokat meglehetősen könnyedén végezzük. Soha nem vesszük észre, és nem kérdezzük meg, hogy miért ilyen módon végezzük ezeket a műveleteket. Vagy miért nem lehet ezeket a számításokat másképpen elvégezni. A válasz abban rejlik, ahogy ezeket a műveleteket az algebra matematikai mezőjében definiálják.
Az algebrában a két mennyiséget magában foglaló művelet (például az összeadás) bináris műveletként van definiálva. Pontosabban ez egy halmaz két eleme közötti művelet, és ezeket az elemeket "operandusnak" nevezik. A matematikában számos művelet, beleértve a korábban említett aritmetikai műveleteket, valamint a halmazelméletben, a lineáris algebrában és a matematikai logikában előfordulókat, bináris műveletként definiálható.
Egy adott bináris művelethez egy sor irányító szabály tartozik. Az asszociatív és a kommutatív tulajdonságok a bináris műveletek két alapvető tulajdonsága.
További információ a kommutatív tulajdonságról
Tegyük fel, hogy az A és B elemeken valamilyen bináris műveletet hajtunk végre, amelyet a ⊗ szimbólum jelöl. Ha az operandusok sorrendje nem befolyásolja a művelet eredményét, akkor a műveletet kommutatívnak mondjuk. azaz ha A ⊗ B=B ⊗ A, akkor a művelet kommutatív.
Az összeadás és szorzás aritmetikai műveletei kommutatívak. Az összeadott vagy szorzott számok sorrendje nem befolyásolja a végső választ:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
De osztás esetén a sorrend megváltoztatja a másik reciproját, a kivonásban pedig a változás a másik negatívját. Ezért
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 és 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 és 5 ÷ 4=1,25 [ebben az esetben A, B ≠ 1 és 0
Valójában a kivonás antikommutatív; ahol A – B=– (B – A).
A logikai konnektívumok, a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia is kommutatívak. Az igazságfüggvények is kommutatívak. A halmazműveletek uniója és metszéspontja kommutatív. Az összeadás és a vektorok skaláris szorzata is kommutatív.
De a vektorkivonás és a vektorszorzat nem kommutatív (két vektor vektorszorzata antikommutatív). A mátrixösszeadás kommutatív, de a szorzás és a kivonás nem kommutatív.(Két mátrix szorzása lehet kommutatív speciális esetekben, mint például egy mátrix szorzása az inverzével vagy az azonossági mátrixszal; de határozottan nem kommutatívak a mátrixok, ha a mátrixok nem azonos méretűek)
További információ az asszociatív tulajdonról
A bináris műveletet asszociatívnak nevezzük, ha a végrehajtás sorrendje nem befolyásolja az eredményt, ha az operátor két vagy több előfordulása is jelen van. Tekintsük az A, B és C elemeket és a bináris műveletet ⊗. A ⊗ műveletet asszociatívnak mondjuk, ha
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Az alapvető aritmetikai függvények közül csak az összeadás és a szorzás asszociatív.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
A kivonás és az osztás nem asszociatív;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 és (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 és (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
A logikai konjunktív diszjunkció, konjunkció és ekvivalencia asszociatívak, csakúgy, mint a halmazműveletek uniója és metszéspontja. A mátrix és a vektor összeadás asszociatív. A vektorok skaláris szorzata asszociatív, de a vektorszorzat nem. A mátrixszorzás csak speciális körülmények között asszociatív.
Mi a különbség a kommutatív és az asszociatív tulajdonság között?
• Mind az asszociatív tulajdonság, mind a kommutatív tulajdonság a bináris műveletek speciális tulajdonságai, és egyesek kielégítik őket, mások pedig nem.
• Ezek a tulajdonságok az algebrai műveletek és a matematikai más bináris műveletek számos formájában megfigyelhetők, mint például a metszéspont és az unió a halmazelméletben vagy a logikai konnektívák.
• A kommutatív és az asszociatív tulajdonság között az a különbség, hogy a kommutatív tulajdonság azt állítja, hogy az elemek sorrendje nem változtatja meg a végeredményt, míg az asszociatív tulajdonság azt állítja, hogy a művelet végrehajtásának sorrendje nem befolyásolja a végső választ.
