Lineáris egyenlet vs nemlineáris egyenlet
A matematikában az algebrai egyenletek egyenletek, amelyeket polinomok felhasználásával alakítanak ki. Explicit módon felírva az egyenletek P(x)=0 alakúak lesznek, ahol x n ismeretlen változóból álló vektor, P pedig polinom. Például P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 egy algebrai egyenlet két explicit változóban.. Ezenkívül (x+y)3 =3x2y – 3zy4 egy algebrai egyenlet, de implicit formában, és ez a következő formában lesz: Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, explicit módon írva.
Egy algebrai egyenlet fontos jellemzője a foka. Ez az egyenletben előforduló kifejezések legnagyobb hatványa. Ha egy tag két vagy több változóból áll, akkor az egyes változók kitevőinek összegét tekintjük a tag hatványának. Figyeljük meg, hogy e definíció szerint P(x, y)=0 5. fokú, míg Q(x, y, z)=0 5. fokú.
A lineáris egyenletek és a nemlineáris egyenletek az algebrai egyenletek halmazán meghatározott két részből állnak. Az egyenlet mértéke az a tényező, amely megkülönbözteti őket egymástól.
Mi az a lineáris egyenlet?
A lineáris egyenlet 1. fokú algebrai egyenlet. Például 4x + 5=0 egy változó lineáris egyenlete. x + y + 5z=0 és 4x=3w + 5y + 7z 3, illetve 4 változóból álló lineáris egyenletek. Általában egy n változóból álló lineáris egyenlet a következő formában lesz: m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Itt xi's az ismeretlen változók, mi és b valós számok, ahol mindegyik mi A nem nulla.
Egy ilyen egyenlet egy hipersíkot ábrázol az n-dimenziós euklideszi térben. Konkrétan egy kétváltozós lineáris egyenlet egy egyenest jelöl a derékszögű síkban, egy háromváltozós lineáris egyenlet pedig egy síkot az euklideszi 3-téren.
Mi az a nemlineáris egyenlet?
A másodfokú egyenlet egy algebrai egyenlet, amely nem lineáris. Más szavakkal, a nemlineáris egyenlet 2-es vagy magasabb fokú algebrai egyenlet. x2 + 3x + 2=0 egyváltozós nemlineáris egyenlet. x2 + y3+ 3xy=4 és 8yzx2 + y2A + 2z2 + x + y + z=4 példák 3, illetve 4 változóból álló nemlineáris egyenletekre.
A másodfokú nemlineáris egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük. Ha a fokszám 3, akkor azt köbegyenletnek nevezzük. A 4. és 5. fokú egyenleteket kvartikus, illetve kvintikus egyenleteknek nevezzük. Bebizonyosodott, hogy nem létezik analitikus módszer egyetlen 5-ös fokú nemlineáris egyenlet megoldására, és ez igaz minden magasabb fokra is. A megoldható nemlineáris egyenletek olyan hiperfelületeket képviselnek, amelyek nem hipersíkok.
Mi a különbség a lineáris és a nemlineáris egyenlet között?
• A lineáris egyenlet 1. fokú algebrai egyenlet, de a nemlineáris egyenlet 2. vagy magasabb fokú algebrai egyenlet.
• Bár bármely lineáris egyenlet analitikusan megoldható, a nemlineáris egyenleteknél ez nem így van.
• Az n-dimenziós euklideszi térben az n-változós lineáris egyenlet megoldási tere egy hipersík, míg az n-változós nemlineáris egyenleté egy hiperfelület, ami nem hipersík. (Kvadrátok, kockafelületek stb.)
