Lineáris és nemlineáris differenciálegyenletek
Azt az egyenletet, amely legalább egy differenciálegyütthatót vagy egy ismeretlen változó deriváltját tartalmazza, differenciálegyenletnek nevezzük. A differenciálegyenlet lehet lineáris vagy nemlineáris. Ennek a cikknek az a célja, hogy elmagyarázza, mi a lineáris differenciálegyenlet, mi a nemlineáris differenciálegyenlet, és mi a különbség a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek között.
A 18. századi matematikusok, például Newton és Leibnitz által a kalkuláció kifejlesztése óta a differenciálegyenlet fontos szerepet játszik a matematika történetében. A differenciálegyenletek alkalmazási körük miatt nagy jelentőséggel bírnak a matematikában. A differenciálegyenletek minden olyan modell középpontjában állnak, amelyet a világ bármely forgatókönyvének vagy eseményének magyarázatára fejlesztettünk ki, legyen szó fizikáról, mérnöki tudományról, kémiáról, statisztikáról, pénzügyi elemzésről vagy biológiáról (a lista végtelen). Valójában egészen addig, amíg a számítás nem vált bevett elméletté, a megfelelő matematikai eszközök nem voltak elérhetők a természet érdekes problémáinak elemzésére.
A számítás egy adott alkalmazásából származó egyenletek nagyon összetettek lehetnek, és néha nem is megoldhatók. Vannak azonban olyanok, amelyeket meg tudunk oldani, de hasonlóak és zavaróak lehetnek. Ezért a könnyebb azonosítás érdekében a differenciálegyenleteket matematikai viselkedésük alapján kategorizáljuk. A lineáris és a nemlineáris egy ilyen kategorizálás. Fontos azonosítani a különbséget a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek között.
Mi az a lineáris differenciálegyenlet?
Tegyük fel, hogy f: X→Y és f(x)=y, az ismeretlen y függvény és származékai nemlineáris tagjai nélküli differenciálegyenlet lineáris differenciálegyenletként ismert.
Ez azt a feltételt szabja meg, hogy y-nek nem lehetnek magasabb indexű kifejezései, például y2, y3, … és származékok többszörösei, mint pl. mint
Nem tartalmazhat továbbá nem lineáris kifejezéseket, például Sin y, e y ^-2 vagy ln y. A következő formában van:
ahol y és g az x függvényei. Az egyenlet egy n rendű differenciálegyenlet, amely a legmagasabb rendű derivált indexe.
A lineáris differenciálegyenletben a differenciáloperátor egy lineáris operátor, és a megoldások egy vektorteret alkotnak. A megoldáshalmaz lineáris jellegéből adódóan a megoldások lineáris kombinációja is megoldást jelent a differenciálegyenletre. Vagyis ha y1 és y2 a differenciálegyenlet megoldásai, akkor C1 y 1+ C2 y2 szintén megoldás.
Az egyenlet linearitása csak egy paramétere az osztályozásnak, és tovább kategorizálható homogén vagy nem homogén, valamint közönséges vagy parciális differenciálegyenletekre. Ha a függvény g=0, akkor az egyenlet lineáris homogén differenciálegyenlet. Ha f két vagy több független változó (f: X, T→Y) és f(x, t)=y függvénye, akkor az egyenlet egy lineáris parciális differenciálegyenlet.
A differenciálegyenlet megoldási módja a differenciálegyenlet típusától és együtthatóitól függ. A legegyszerűbb eset akkor fordul elő, ha az együtthatók állandók. Klasszikus példa erre az esetre Newton második mozgástörvénye és annak különféle alkalmazásai. Newton második törvénye egy másodrendű lineáris differenciálegyenletet állít elő állandó együtthatókkal.
Mi az a nemlineáris differenciálegyenlet?
A nemlineáris kifejezéseket tartalmazó egyenleteket nemlineáris differenciálegyenleteknek nevezzük.
A fentiek nemlineáris differenciálegyenletek. A nemlineáris differenciálegyenleteket nehéz megoldani, ezért alapos tanulmányozás szükséges a helyes megoldáshoz. Parciális differenciálegyenletek esetén a legtöbb egyenletnek nincs általános megoldása. Ezért minden egyenletet egymástól függetlenül kell kezelni.
Navier-Stokes-egyenlet és Euler-egyenlet a folyadékdinamikában, az általános relativitáselmélet Einstein-féle mezőegyenlete jól ismert nemlineáris parciális differenciálegyenletek. Néha a Lagrange-egyenlet változórendszerre történő alkalmazása nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert eredményezhet.
Mi a különbség a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek között?
• Lineáris differenciálegyenletként ismert egy differenciálegyenlet, amely csak az ismeretlen vagy függő változó lineáris tagjait és deriváltjait tartalmazza. Nincs olyan kifejezése, amelynek függő változója 1-nél nagyobb, és nem tartalmazza a származékainak többszörösét sem. Nem tartalmazhat nemlineáris függvényeket, például trigonometrikus függvényeket, exponenciális függvényeket és logaritmikus függvényeket a függő változóhoz képest. Bármely differenciálegyenlet, amely a fent említett kifejezéseket tartalmazza, nemlineáris differenciálegyenlet.
• A lineáris differenciálegyenletek megoldásai vektorteret hoznak létre, és a differenciáloperátor is egy lineáris operátor a vektortérben.
• A lineáris differenciálegyenletek megoldása viszonylag egyszerűbb, és vannak általános megoldások. A nemlineáris egyenletek esetében a legtöbb esetben az általános megoldás nem létezik, és a megoldás problémaspecifikus lehet. Ez sokkal nehezebbé teszi a megoldást, mint a lineáris egyenletek.
