A transzponálás és a konjugált transzponálás közötti különbség

2024 Szerző: Alex Aldridge | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 13:41

Transzponálás vs konjugált transzponálás

Egy mátrix A transzponálása az oszlopok sorokká vagy a sorok oszlopokká történő átrendezésével kapott mátrixként azonosítható. Ennek eredményeként az egyes elemek indexei felcserélődnek. Formálisabban az A mátrix transzponálása

hol

A transzponált mátrixban az átló változatlan marad. De az összes többi elemet az átló körül forgatják. Ezenkívül a mátrixok mérete is m×n-ről n×m-re változik.

A transzponálásnak van néhány fontos tulajdonsága, és lehetővé teszik a mátrixok könnyebb manipulálását. Ezenkívül néhány fontos transzponált mátrix a jellemzőik alapján került meghatározásra. Ha a mátrix egyenlő a transzponáltjával, akkor a mátrix szimmetrikus. Ha a mátrix egyenlő a transzpozíció negatívjával, akkor a mátrix ferde szimmetrikus.

Egy mátrix konjugált transzpozíciója a mátrix transzpozíciója, amelynek elemeit a komplex konjugátummal helyettesítjük. Azaz a komplex konjugátum (A^{) az A mátrix komplex konjugátumának transzpozíciójaként van definiálva.}

A=(Ā)^{T; Részletesen,}

hol

és ā_{ji ε C.}

Hermitikus transzponálásként és Hermitiánus konjugátumként is ismert. Ha a konjugált transzpozíció megegyezik magával a mátrixszal, a mátrixot hermitikus mátrixnak nevezzük. Ha a konjugált transzponálás egyenlő a mátrix negatívjával, akkor ez egy ferde hermiti mátrix. És ha a mátrix inverze egyenlő a komplex konjugátummal, akkor a mátrix unitér.

Hasonlóan, az összes speciális mátrix komplex konjugátumnak is vannak speciális tulajdonságai, amelyek segítségével könnyen matematikailag manipulálhatók. A konjugált transzponálást széles körben használják a kvantummechanikában és annak releváns területein.

Mi a különbség a transzponálás és a konjugált transzponálás között?

• A mátrix transzponálása az oszlopok sorokká vagy a sorok oszlopokká történő átrendezésével érhető el. A mátrix komplex konjugátumát úgy kapjuk meg, hogy minden elemet a komplex konjugátumukra cserélünk (azaz x+iy ⇛ x-iy vagy fordítva). A konjugált transzponálást úgy kapjuk meg, hogy mindkét műveletet végrehajtjuk a mátrixon.

• Ezért a konjugált transzpozíció csak egy transzpozíciós mátrix, amelynek összetett konjugátumai az elemek.