Transzponálás vs inverz mátrix
A transzpozíció és az inverz kétféle mátrix, amelyek különleges tulajdonságokkal rendelkeznek a mátrixalgebrában. Különböznek egymástól, és nincs szoros kapcsolatuk, mivel a megszerzésükre végzett műveletek eltérőek.
Széles alkalmazásuk van a lineáris algebra és a származtatott implementációk, például a számítástechnika területén.
További információ a Transpone Matrixról
Egy mátrix A transzponálása az oszlopok sorokká vagy a sorok oszlopokká történő átrendezésével kapott mátrixként azonosítható. Ennek eredményeként az egyes elemek indexei felcserélődnek. Formálisabban az A mátrix transzponálása
hol
A transzponált mátrixban az átló változatlan marad, de az összes többi elem az átló körül forog. Ezenkívül a mátrixok mérete is m×n-ről n×m-re változik.
A transzponálásnak van néhány fontos tulajdonsága, és lehetővé teszik a mátrixok könnyebb manipulálását. Ezenkívül néhány fontos transzponált mátrix a jellemzőik alapján került meghatározásra. Ha a mátrix egyenlő a transzponáltjával, akkor a mátrix szimmetrikus. Ha a mátrix egyenlő a transzpozíció negatívjával, akkor a mátrix ferde szimmetrikus. Egy mátrix konjugált transzpozíciója a mátrix transzpozíciója, amelynek elemeit a komplex konjugátummal helyettesítjük.
További információ az Inverz Mátrixról
A mátrix inverze olyan mátrix, amely összeszorozva megadja az azonosságmátrixot. Ezért definíció szerint, ha AB=BA=I, akkor B A inverz mátrixa, A pedig B inverz mátrixa. Tehát, ha B=A -1, akkor AA -1 =A -1 A=I
Ahhoz, hogy egy mátrix invertálható legyen, szükséges és elégséges feltétele, hogy A determinánsa ne legyen nulla; azaz | A |=det(A) ≠ 0. Egy mátrixot invertálhatónak, nem szingulárisnak vagy nem degeneratívnak mondunk, ha eleget tesz ennek a feltételnek. Ebből következik, hogy A négyzetmátrix, és mind A -1, mind A mérete azonos.
Az A mátrix inverze a lineáris algebrában számos módszerrel kiszámítható, mint például a Gauss-elimináció, a sajátdekompozíció, a Cholesky-felbontás és a Carmer-szabály. A mátrix blokk-inverziós módszerrel és Neuman-sorral is invertálható.
Mi a különbség a transzponált és az inverz mátrix között?
• A transzponálás a mátrix oszlopainak és sorainak átrendezésével érhető el, míg az inverz egy viszonylag nehéz numerikus számítással. (De a valóságban mindkettő lineáris transzformáció)
• Közvetlen eredményeképpen a transzponált elemek csak a pozíciójukat változtatják, de az értékek ugyanazok. De fordítva, a számok teljesen eltérhetnek az eredeti mátrixtól.
• Minden mátrixnak lehet transzpozíciója, de az inverz csak négyzetes mátrixokra van definiálva, és a determinánsnak nullától eltérő determinánsnak kell lennie.
