Különbség a binomiális és a normál eloszlás között

2024 Szerző: Alex Aldridge | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 13:41

Binomiális vs normál eloszlás

A valószínűségi változók valószínűségi eloszlása fontos szerepet játszik a statisztika területén. Ezek közül a valószínűségi eloszlások közül a binomiális eloszlás és a normál eloszlás a két leggyakrabban előforduló a valós életben.

Mi az a binomiális eloszlás?

A binomiális eloszlás az X valószínűségi változónak megfelelő valószínűségi eloszlás, amely független igen/nem kísérletek véges sorozatának sikereinek száma, amelyek mindegyikének p sikerességi valószínűsége van. X definíciójából nyilvánvaló, hogy ez egy diszkrét valószínűségi változó; ezért a binomiális eloszlás is diszkrét.

Az eloszlást X ~ B (n, p) jelöléssel jelöljük, ahol n a kísérletek száma, p pedig a siker valószínűsége. Valószínűségelmélet szerint levezethetjük, hogy B (n, p) a [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p) valószínűségi tömegfüggvényt követi.)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Ebből az egyenletből még levezethető, hogy X várható értéke, E(X)=np és X varianciája, V(X)=np (1- p).

Például vegyünk egy véletlenszerű kísérletet egy érme háromszori feldobásával. Definiálja a sikert H eléréseként, a sikertelenséget T megszerzéseként, az X valószínűségi változót pedig a kísérlet sikereinek számaként. Ekkor X ~ B (3, 0,5) és X valószínűségi tömegfüggvénye [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Ezért annak a valószínűsége, hogy legalább 2 H-t kapunk, P(X ≥ 2)=P (X=2 vagy X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Mi a normál eloszlás?

A normál eloszlás a valószínűségi sűrűségfüggvény által meghatározott folytonos valószínűségi eloszlás, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. A [latex] \mu és \\sigma [/latex] paraméterek a vizsgált sokaság átlagát és szórását jelölik. Ha [latex] \mu=0 és \\sigma=1 [/latex], az eloszlást szabványos normál eloszlásnak nevezzük.

Ezt az eloszlást normálisnak nevezzük, mivel a legtöbb természeti jelenség a normális eloszlást követi. Például az emberi populáció IQ-ja normális eloszlású. A grafikonból látható, hogy unimodális, szimmetrikus az átlagra és harang alakúra. Az átlag, mód és medián egybeesik. A görbe alatti terület a populáció azon részének felel meg, amely megfelel egy adott feltételnek.

A népesség részei a [latex] intervallumban (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] körülbelül 68,2%, 95,6% és 99,8% illetve.

Mi a különbség a binomiális és a normál eloszlás között?

• A binomiális eloszlás diszkrét valószínűségi eloszlás, míg a normál eloszlás folytonos.
• A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye: [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], míg a normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• A binomiális eloszlást bizonyos feltételek mellett normális eloszlással közelítjük, de fordítva nem.