Integráció vs differenciálás
Az integráció és a differenciálás két alapvető fogalom a változást vizsgáló kalkulusban. A Calculus számos alkalmazási területtel rendelkezik számos területen, például tudományban, gazdaságban vagy pénzügyekben, mérnöki területen stb.
Megkülönböztetés
A differenciálás a deriváltak kiszámításának algebrai eljárása. Egy függvény deriváltja a görbe (grafikon) meredeksége vagy gradiense egy adott pontban. Egy görbe tetszőleges pontjában a gradiens a görbéhez az adott pontban húzott érintő gradiense. Nem lineáris görbék esetén a görbe gradiense a tengely különböző pontjain változhat. Ezért nehéz bármely ponton kiszámítani a gradienst vagy a meredekséget. A differenciálási eljárás hasznos a görbe bármely ponton történő gradiensének kiszámításához.
A derivált egy másik definíciója: „egy tulajdonság változása egy másik tulajdonság egységnyi változásához képest”.
Legyen f(x) egy független x változó függvénye. Ha az x független változóban kis változás (∆x) történik, akkor az f(x) függvényben ennek megfelelő ∆f(x) változás következik be; akkor a ∆f(x)/∆x arány az f(x) változási sebességének mértéke x-hez képest. Ennek az aránynak a határértékét, mivel ∆x nullára hajlik, lim∆x→0(f(x)/∆x) az f(x) függvény első deriváltjának nevezzük., x-hez képest; más szavakkal, f(x) pillanatnyi változása egy adott x pontban.
Integráció
Az integráció a határozott integrál vagy a határozatlan integrál kiszámításának folyamata. Egy f(x) valós függvény és egy zárt intervallum [a, b] esetén a valós egyenesen a határozott integrál, a∫b f(x) a függvény grafikonja, a vízszintes tengely és az intervallum végpontjainál lévő két függőleges vonal közötti terület. Ha egy adott intervallum nincs megadva, azt határozatlan integrálnak nevezzük. Egy határozott integrál kiszámítható antideriváltak segítségével.
Mi a különbség az integráció és a differenciálás között?
Az integráció és a differenciálás közötti különbség egyfajta különbség a „négyzetesítés” és a „négyzetgyök felvétele” között. Ha egy pozitív számot négyzetre vetünk, majd az eredmény négyzetgyökét vesszük, akkor a pozitív négyzetgyök érték az a szám lesz, amelyet négyzetre emeltünk. Hasonlóképpen, ha az integrációt alkalmazza az eredményre, amelyet egy f(x) folytonos függvény differenciálásával kapott, az visszavezet az eredeti függvényhez, és fordítva.
Például legyen F(x) az f(x)=x függvény integrálja, ezért F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, ahol c tetszőleges állandó. Ha F(x)-et x-hez képest differenciálunk, azt kapjuk, hogy F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, tehát F(x) deriváltja egyenlő f(x).
Összefoglaló
– A differenciálás a görbe meredekségét, míg az integráció a görbe alatti területet számítja ki.
– Az integráció a differenciálás fordított folyamata, és fordítva.
