Diszkrét függvény vs folyamatos függvény
A függvények a matematikai objektumok egyik legfontosabb osztálya, amelyet széles körben használnak a matematika szinte minden részterületén. Ahogy a nevük is sugallja, a diszkrét függvények és a folytonos függvények két speciális függvénytípus.
A függvény egy reláció két halmaz között, amely úgy van definiálva, hogy az első halmaz minden elemére vonatkozóan a második halmazban annak megfelelő érték egyedi. Legyen f az A halmazból B halmazba definiált függvény. Ekkor minden x ϵ A esetén az f (x) szimbólum azt az egyedi értéket jelöli a B halmazban, amely x-nek felel meg. Ezt x képének nevezzük f alatt. Ezért egy f reláció A-ból B-be akkor és csak akkor függvény, ha minden xϵ A és y ϵ A esetén; ha x=y, akkor f (x)=f (y). Az A halmazt az f függvény tartományának nevezzük, és ez az a halmaz, amelyben a függvény definiálva van.
Vegyük például az f összefüggést R-ből R-be, amelyet f (x)=x + 2 definiál minden xϵ A esetén. Ez egy olyan függvény, amelynek tartománya R, mivel minden x és y valós szám esetén x=y azt jelenti, hogy f (x)=x + 2=y + 2=f (y). De a g (x)=a által definiált g N-ből N-be való reláció, ahol 'a' az x prímtényezője, nem függvény, mivel g (6)=3, valamint g (6)=2.
Mi az a diszkrét függvény?
A diszkrét függvény olyan függvény, amelynek tartománya legfeljebb megszámlálható. Ez egyszerűen azt jelenti, hogy lehet olyan listát készíteni, amely a tartomány összes elemét tartalmazza.
Bármely véges halmaz legfeljebb megszámlálható. A természetes számok halmaza és a racionális számok halmaza példák legfeljebb megszámlálható végtelen halmazokra. A valós számok halmaza és az irracionális számok halmaza legfeljebb nem megszámlálható. Mindkét készlet megszámlálhatatlan. Ez azt jelenti, hogy lehetetlen olyan listát készíteni, amely a halmazok összes elemét tartalmazza.
Az egyik leggyakoribb diszkrét függvény a faktoriális függvény. f:N U{0}→N rekurzív módon definiált f (n)=n f (n-1) minden n ≥ 1 és f (0)=1 esetén faktoriális függvénynek nevezzük. Figyelje meg, hogy az N U{0} tartománya legfeljebb megszámlálható.
Mi az a folytonos függvény?
Legyen f olyan függvény, hogy f tartományban minden k esetén f (x)→ f (k) mint x → k. Ekkor f folytonos függvény. Ez azt jelenti, hogy f(x) tetszőlegesen közel tehető f(k)-hez, ha x-et kellően közel tesszük k-hez az f tartományában lévő minden egyes k esetében.
Tekintsük az f (x)=x + 2 függvényt R-en. Látható, hogy mint x → k, x + 2 → k + 2, azaz f (x) → f (k). Ezért f folytonos függvény. Tekintsük most g-t pozitív valós számokon, ha g (x)=1, ha x > 0, és g (x)=0, ha x=0. Ekkor ez a függvény nem folytonos függvény, mivel g (x) határértéke nem létezik (és ezért nem egyenlő g (0)-val), mivel x → 0.
Mi a különbség a diszkrét és a folytonos függvény között?
• A diszkrét függvény olyan függvény, amelynek tartománya legfeljebb megszámlálható, de ennek nem kell a folytonos függvényekben így lennie.
• Minden ƒ folytonos függvénynek megvan az a tulajdonsága, hogy ƒ(x)→ƒ(k) mint x → k minden x és minden k esetében az ƒ tartományában, de ez nem így van néhány diszkrét függvényben.
