Kölcsönösen exkluzív vs független események
Az emberek gyakran összekeverik az egymást kizáró események fogalmát a független eseményekkel. Valójában ez két különböző dolog.
Legyen A és B bármely két esemény, amely egy E véletlenszerű kísérlethez kapcsolódik. P(A) az „A valószínűsége”. Hasonlóképpen definiálhatjuk B valószínűségét P(B), A vagy B valószínűségét P(A∪B), és A és B valószínűségét P(A∩B). Ekkor P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Azonban két eseményről azt mondjuk, hogy kölcsönösen kizárják egymást, ha az egyik esemény bekövetkezése nem érinti a másikat. Más szóval, nem fordulhatnak elő egyszerre. Ezért, ha két A és B esemény kizárja egymást, akkor A∩B=∅, és ebből következik, hogy P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Legyen A és B két esemény az S mintatérben. A feltételes valószínűségét, mivel B bekövetkezett, P(A | B) jelöli, és a következőképpen definiálható; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), feltéve, hogy P(B)>0. (egyébként nincs meghatározva.)
Egy A eseményt függetlennek mondjuk egy B eseménytől, ha A bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja, hogy B megtörtént-e vagy sem. Más szóval, a B esemény kimenetele nincs hatással az A esemény kimenetelére. Ezért P(A | B)=P(A). Hasonlóképpen, B független A-tól, ha P(B)=P(B | A). Ebből arra következtethetünk, hogy ha A és B független események, akkor P(A∩B)=P(A). P(B)
Tegyük fel, hogy egy számozott kockát hengerelnek, és egy tisztességes érmét dobnak fel. Legyen A az az esemény, amelyik megkapja a fejet, és B az az esemény, amelyik páros számot dob. Ekkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy A és B események függetlenek, mert az egyik kimenetele nem befolyásolja a másik kimenetelét. Ezért P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Mivel P(A∩B)≠0, A és B nem zárhatják ki egymást.
Tegyük fel, hogy egy urna 7 fehér és 8 fekete golyót tartalmaz. Definiálja az A eseményt egy fehér golyó rajzolásaként, és a B eseményt egy fekete golyó rajzolásaként. Feltételezve, hogy minden golyót a színének feljegyzése után kicserélünk, akkor P(A) és P(B) mindig ugyanaz lesz, függetlenül attól, hogy hányszor húzunk az urnából. A golyók cseréje azt jelenti, hogy a valószínűségek húzásról húzásra nem változnak, függetlenül attól, hogy milyen színt választottunk az utolsó húzáskor. Ezért A és B esemény független.
Ha azonban a golyókat csere nélkül rajzolták meg, akkor minden megváltozik. E feltételezés alapján az A és B események nem függetlenek. A fehér golyó első megrajzolása megváltoztatja annak valószínűségét, hogy a második húzáskor fekete golyót rajzol, és így tovább. Más szavakkal, minden húzás hatással van a következő sorsolásra, így az egyes húzások nem függetlenek.
Különbség a kölcsönösen kizáró és független események között
– Az események kölcsönös kizárólagossága azt jelenti, hogy nincs átfedés az A és B halmazok között. Az események függetlensége azt jelenti, hogy A bekövetkezése nem befolyásolja B eseményét.
– Ha két A és B esemény kizárja egymást, akkor P(A∩B)=0.
– Ha két A és B esemény független, akkor P(A∩B)=P(A). P(B)
