Függő vs független események
Mindennapi életünkben bizonytalan eseményekkel találkozunk. Például esélyt nyerni egy lottón, amelyet megvásárolt, vagy esélyt arra, hogy megkapja azt az állást, amelyre jelentkezett. Az alapvető valószínűségelméletet arra használják, hogy matematikailag meghatározzák annak esélyét, hogy valami megtörténjen. A valószínűség mindig véletlenszerű kísérletekhez kapcsolódik. A több lehetséges kimenetelű kísérletet véletlenszerű kísérletnek nevezzük, ha egyetlen kísérlet kimenetele sem jelezhető előre. A függő és független események a valószínűségszámításban használt kifejezések.
Egy B eseményről azt mondjuk, hogy független az A eseménytől, ha B bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja, hogy A bekövetkezett-e vagy sem. Egyszerűen két esemény független, ha az egyik kimenetele nem befolyásolja a másik esemény bekövetkezésének valószínűségét. Más szóval, B független A-tól, ha P(B)=P(B|A). Hasonlóképpen, A független B-től, ha P(A)=P(A|B). Itt P(A|B) az A feltételes valószínűséget jelöli, feltételezve, hogy B megtörtént. Ha figyelembe vesszük két kocka dobását, akkor az egyik kockában megjelenő számnak nincs hatása arra, hogy mi került a másik kockába.
Bármely két A és B eseményhez egy S mintatérben; A feltételes valószínűsége, feltéve, hogy B bekövetkezett, P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Tehát, ha az A esemény független B eseménytől, akkor P(A)=P(A|B) azt jelenti, hogy P(A∩B)=P(A) x P(B). Hasonlóképpen, ha P(B)=P(B|A), akkor P(A∩B)=P(A) x P(B) teljesül. Ebből arra következtethetünk, hogy A és B két esemény akkor és csak akkor független, ha a P(A∩B)=P(A) x P(B) feltétel teljesül.
Tegyük fel, hogy egyszerre dobunk egy kockát és dobunk fel egy érmét. Ekkor az összes lehetséges eredmény halmaza vagy a mintatér: S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Legyen A esemény a fejek megszerzésének eseménye, akkor az A, P(A) esemény valószínűsége 6/12 vagy 1/2, és legyen B az az esemény, amikor a kocka három többszörösét kapja. Ekkor P(B)=4/12=1/3. E két esemény egyike sem befolyásolja a másik esemény bekövetkezését. Ezért ez a két esemény független. Mivel az (A∩B)={(3, H), (6, H)} halmaz, annak a valószínűsége, hogy egy esemény fejeket és három többszörösét kapja a kockán, azaz P(A∩B) 2/12 vagy 1/6. A P (A) x P(B) szorzás szintén 1/6. Mivel a két esemény, A és B teljesíti a feltételt, azt mondhatjuk, hogy A és B független események.
Ha egy esemény kimenetelét befolyásolja a másik esemény kimenetele, akkor azt mondjuk, hogy az esemény függő.
Tegyük fel, hogy van egy zacskónk, amely 3 piros, 2 fehér és 2 zöld golyót tartalmaz. A fehér golyó véletlenszerű kihúzásának valószínűsége 2/7. Mennyi a valószínűsége annak, hogy zöldlabdát húzunk? 2/7?
Ha az első golyó cseréje után húztuk volna a második labdát, ez a valószínűség 2/7 lesz. Ha azonban nem cseréljük ki az első kivett labdát, akkor csak hat golyó van a zsákban, így a zöld labda húzásának valószínűsége most 2/6 vagy 1/3. Ezért a második esemény függő, mivel az első esemény hatással van a második eseményre.
Mi a különbség a függő esemény és a független esemény között?
