Különbség Bernoulli és Binomial között

2024 Szerző: Alex Aldridge | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 13:41

Bernoulli vs Binomial

A való életben nagyon gyakran találkozunk olyan eseményekkel, amelyeknek csak két eredménye van, ami számít. Például vagy átmegyünk egy állásinterjún, amellyel szembesültünk, vagy elbukunk, vagy a járatunk időben indul, vagy késik. Mindezekben a helyzetekben alkalmazhatjuk a „Bernoulli-próbák” valószínűségi fogalmát.

Bernoulli

Véletlenszerű kísérlet csak két lehetséges eredménnyel, p és q valószínűséggel; ahol p+q=1, Bernoulli-pernek nevezik James Bernoulli (1654-1705) tiszteletére. Leggyakrabban a kísérlet két kimenetele „siker” vagy „kudarc”.

Például, ha fontolóra vesszük egy érme feldobását, akkor két lehetséges kimenetel van, amelyekről azt mondják, hogy „fej” vagy „farok”. Ha érdekel minket, hogy a fej leessen; a siker valószínűsége 1/2, amit P (siker)=1/2-ként jelölhetünk, a sikertelenség valószínűsége pedig 1/2. Hasonlóképpen, amikor két kockával dobunk, ha csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy két kocka összege 8 legyen, P (siker)=5/36 és P (sikertelenség)=1-5/36=31/36.

A Bernoulli-folyamat Bernoulli-próbák sorozatának önálló előfordulása; ezért a siker valószínűsége minden próba esetében ugyanaz marad. Ezenkívül minden próba esetében a sikertelenség valószínűsége 1-P(siker).

Mivel az egyes nyomvonalak függetlenek, a Bernoulli-folyamat eseményeinek valószínűsége kiszámítható a siker és a kudarc valószínűségének szorzatával. Például, ha a siker valószínűségét [P(S)] p-vel, a sikertelenség valószínűségét [P (F)] pedig q-val jelöljük; akkor P(SSSF)=p³q és P(FFSS)=p²q²

Binomiális

A Bernoulli-próbák binomiális eloszláshoz vezetnek. A legtöbb esetben az emberek összetévesztik a „Bernoulli” és a „Binomial” két kifejezést. A binomiális eloszlás független és egyenletes eloszlású Bernoulli-próbák összege. A binomiális eloszlást a b(k;n, p) jelöléssel jelöljük; b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, ahol C(n, k) néven ismert a binomiális együttható. A C(n, k) binomiális együttható az n!/k!(n-k)! képlettel számítható ki.}

Például, ha egy 25%-os nyerőjegyekkel rendelkező azonnali lottót 10 ember között adnak el, a nyerőjegy megvásárlásának valószínűsége b(1;10, 0,25)=C(10, 1)(0,25)(0,75)^{9 ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169}

Mi a különbség a Bernoulli és a Binomial között?

• Bernoulli-próba egy véletlenszerű kísérlet, csak két lehetséges eredménnyel.
• A binomiális kísérlet Bernoulli-próbák sorozata, egymástól függetlenül végzett.