Hiperbola vs Ellipszis
Ha egy kúpot különböző szögekben vágunk le, a kúp széle különböző görbéket jelöl. Ezeket a görbéket gyakran kúpszelvényeknek nevezik. Pontosabban, a kúpmetszet egy görbe, amelyet egy jobb oldali körkúpfelület és egy sík felület metszésével kapunk. Különböző metszésszögeknél különböző kúpszelvények vannak megadva.
Mind a hiperbola, mind az ellipszis kúpszelet, és különbségeik ebben az összefüggésben könnyen összehasonlíthatók.
További információ az Ellipse-ről
Amikor a kúpos felület és a síkfelület metszéspontja zárt görbét hoz létre, azt ellipszisnek nevezzük. Nulla és egy közötti excentricitással rendelkezik (0<e<1). Definiálható úgy is, mint a ponthalmaz helye egy síkon úgy, hogy a két fix ponttól való távolságok összege állandó marad. Ezt a két rögzített pontot „gócnak” nevezzük. (Ne feledje, hogy az elemi matematika órákon az ellipsziseket két rögzített tűhöz kötött zsinórral vagy egy húrhurokkal és két tűvel rajzolják meg.)
A fókuszon áthaladó vonalszakaszt főtengelynek, a főtengelyre merőleges és az ellipszis közepén áthaladó tengelyt pedig melléktengelynek nevezzük. Az egyes tengelyek mentén lévő átmérőket keresztirányú átmérőnek, illetve konjugált átmérőnek nevezzük. A nagytengely felét fél-nagytengelyként, a melléktengely felét pedig fél-nagytengelyként ismerjük.
Minden egyes F1 és F2 pont az ellipszis fókuszpontjaként és az F1 hosszként ismert. + PF2 =2a, ahol P az ellipszis tetszőleges pontja. Az e excentricitást a fókusz és a tetszőleges pont (PF 2) távolsága, valamint a tetszőleges pontra az irányítóponttól mért merőleges távolság (PD) arányaként határozzuk meg. Ez egyenlő a két fókusz és a fél-nagy tengely távolságával is: e=PF/PD=f/a
Az ellipszis általános egyenlete, amikor a fél-nagy tengely és a fél-kistengely egybeesik a derékszögű tengelyekkel, a következőképpen adható meg.
x2/a2 + y2/b2=1
Az ellipszis geometriájának számos alkalmazása van, különösen a fizikában. A Naprendszer bolygóinak pályája ellipszis alakú, amelynek egyik fókusza a Nap. Az antennák és az akusztikus eszközök reflektorai ellipszis alakúak, hogy kihasználják azt a tényt, hogy a fókusz bármely sugárzása a másik fókuszhoz konvergál.
További információ a hiperboláról
A hiperbola is egy kúpszelet, de nyitott végű. A hiperbola kifejezés az ábrán látható két szétválasztott görbére utal. Ahelyett, hogy ellipszisként zárnának be, a hiperbola karjai vagy ágai a végtelenbe tartanak.
Azokat a pontokat, ahol a két ág között a legrövidebb a távolság, csúcsoknak nevezzük. A csúcsokon áthaladó egyenest tekintjük a főtengelynek vagy a keresztirányú tengelynek, és ez a hiperbola egyik fő tengelye. A parabola két góca is a nagytengelyen fekszik. A két csúcs közötti egyenes felezőpontja a középpont, a szakasz hossza pedig a fél-főtengely. A félnagytengely merőleges felezője a másik főtengely, és a hiperbola két görbéje szimmetrikusan e tengely körül helyezkedik el. A parabola excentricitása nagyobb egynél; e > 1.
Ha a főtengelyek egybeesnek a derékszögű tengelyekkel, a hiperbola általános egyenlete a következő alakú:
x2/a2 – y2/b2=1,
ahol a a fél-főtengely, b pedig a középpont és a fókusz távolsága.
Az x tengely felé nyitott végű hiperbolákat kelet-nyugati hiperboláknak nevezzük. Hasonló hiperbolákat kaphatunk az y tengelyen is. Ezeket y-tengely hiperboláknak nevezzük. Az ilyen hiperbolák egyenlete
y2/a2 – x2/b2=1
Mi a különbség a hiperbola és az ellipszis között?
• Mind az ellipszis, mind a hiperbola kúpszelet, de az ellipszis zárt görbe, míg a hiperbola két nyitott görbéből áll.
• Ezért az ellipszis kerülete véges, a hiperbolának viszont végtelen a hossza.
• Mindkettő szimmetrikus a nagy- és melléktengelye körül, de a direktrix helyzete minden esetben eltérő. Az ellipszisben a fél-nagytengelyen kívül fekszik, míg a hiperbolában a fél-nagytengelyen.
• A két kúpszelvény excentricitása eltérő.
0 <eEllipszis < 1
eHiperbola > 0
• A két görbe általános egyenlete ugyanúgy néz ki, de különböznek egymástól.
• A főtengely merőleges felezője az ellipszisben metszi a görbét, de nem a hiperbolában.
(Kép forrása: Wikipédia)
